题目内容
【题目】如图,在四棱锥中,
平面
,四边形
是菱形,
,
,且
交于点
,
是
上任意一点.
(1)求证;
(2)已知二面角的余弦值为
,若
为
的中点,求
与平面
所成角的正弦值.
【答案】(1)见解析;(2)
【解析】
(1)利用线面垂直的性质得,利用菱形的性质得
,利用线面垂直的判定定理得
平面
,利用线面垂直得到线线垂直,从而得到
;
(2)分别以,
,
为
轴,
轴,
轴的正方向建立空间直角坐标系,设
,用坐标表示点,求得平面
的法向量为
,平面
的法向量为
,根据二面角
的余弦值为
,可求出
,从而得到点
的坐标,再利用向量的夹角公式,即可求得
与平面
所成角的正弦值.
(1)∵平面
,∴
又∵四边形为菱形,∴
又,∴
平面
平面
,∴
(2)连,在
中,
,∴
平面
分别以,
,
为
轴,
轴,
轴的正方向建立空间直角坐标系.
设,则
,
,
,
,
.
由(1)知,平面的一个法向量为
设平面 的一个法向量为
,则由
即,令
,则
因二面角的余弦值为
,
∴,∴
设与平面
所成角为
,∵
,
,
∴.
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