题目内容
对于定义域为
的函数
,若同时满足下列条件:
①
在
内单调递增或单调递减;②存在区间
,使
在
上的值域为
;那么把
叫闭函数.
(1)求闭函数
符合条件②的区间
;
(2)判断函数
,
是否为闭函数?并说明理由;
(3)若
是闭函数,求实数
的范围?


①








(1)求闭函数


(2)判断函数


(3)若


(1)
(2)不是闭函数.
(3)

(2)不是闭函数.
(3)

(1)
在
上递减,依题意,
解得
∴所求的区间为
.
(2)当
时,
.
当
时,得
;
当
时,得
,
∴
的递增区间为
,递减区间为
∴函数
在定义域
上不单调递增或单调递减,
故函数
,
不是闭函数.
(3)
在定义域
上为增.
若
是闭函数,则存在区间
,在区间
上,函数
的值域为
,即
∴
为方程
(*)的两个实数根,
即方程
有两个不等的实根
,
令
当
时,有
即
解得
.
当
时,有
即
此不等式组无解.
综上所述,
.




∴所求的区间为

(2)当


当


当


∴



∴函数


故函数


(3)


若






∴


即方程


令

当



解得

当



此不等式组无解.
综上所述,


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