题目内容
在数列{an}中，
（c为常数，n∈N*，n≥2），又a1，a2，a5成公比不为l的等比数列．（I）求证：{
}为等差数列，并求c的值；（Ⅱ）设{bn}满足
，证明：数列{bn}的前n项和
．
【答案】分析：（I）由题意可得an≠0，由已知可得
可证数列{
}是等差数列，结合等差数列的 通项公式可求
，进而可求an，然后由a1，a2，a5成公比不为l的等比数列可求c
（II）由（I）可求an，进而可求bn，利用裂项法可求Sn，即可证明
解答：（I）证明：若an=0，（n≥2）则，则an-1=0与a1=1矛盾
∴an≠0
∵
∴
∴数列{
}是以c为公差，以
=1为首项的等差数列
∴
∴
∴
∵又a1，a2，a5成公比不为l的等比数列
∴
=a1a5
即
解得c=0或c=2
当c=0时，a1=a2=a5，故舍去
∴c=2
（II）∵
∴
，
=
当n=1时，
当n≥2时，
（1
）
=
（1+
）=1-
=
点评：本题主要考查了利用数列的递推公式构造等差数列求解通项公式，等比数列的性质的应用及裂项求和方法的应用，本题中的裂项求和具有一定的难度
可证数列{}是等差数列，结合等差数列的 通项公式可求，进而可求an，然后由a1，a2，a5成公比不为l的等比数列可求c（II）由（I）可求an，进而可求bn，利用裂项法可求Sn，即可证明
解答：（I）证明：若an=0，（n≥2）则，则an-1=0与a1=1矛盾
∴an≠0
∵
∴
∴数列{
}是以c为公差，以=1为首项的等差数列∴
∴
∴
∵又a1，a2，a5成公比不为l的等比数列
∴
=a1a5即
解得c=0或c=2
当c=0时，a1=a2=a5，故舍去
∴c=2
（II）∵
∴
，=当n=1时，
当n≥2时，
（1）=
（1+）=1-=点评：本题主要考查了利用数列的递推公式构造等差数列求解通项公式，等比数列的性质的应用及裂项求和方法的应用，本题中的裂项求和具有一定的难度
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