Question

13．已知命题p：（x+1）（x-5）≤0，命题q：1-m≤x≤1+m．
（1）若p是q的必要条件，求实数m的取值范围；
（2）若m=5，“p∨q”为真命题，“p∧q”为假命题，求实数x的取值范围．

Answer 1

分析 （1）通过解一元二次不等式得出命题p：-1≤x≤5，从而由p是q的必要条件便可得到$\left\{\begin{array}{l}{1-m≥-1}\\{1+m≤5}\end{array}\right.$，解该不等式组即得实数m的取值范围；
（2）m=5时，得出命题q：-4≤x≤6，而根据“p∨q”为真命题，“p∧q”为假命题便知p真q假，或p假q真，求出每种情况的x的范围，再求并集即得实数x的取值范围．

解答 解：（1）命题p：-1≤x≤5；
∵p是q的必要条件；
即由q能得到p；
∴$\left\{\begin{array}{l}{1-m≥-1}\\{1+m≤5}\end{array}\right.$；
∴m≤2；
∴实数m的取值范围为（-∞，2]；
（2）m=5时，命题q：-4≤x≤6；
∵“p∨q”为真命题，“p∧q”为假命题；
∴p，q一真一假；
∴$\left\{\begin{array}{l}{-1≤x≤5}\\{x＜-4，或x＞6}\end{array}\right.$，或$\left\{\begin{array}{l}{x＜-1，或x＞5}\\{-4≤x≤6}\end{array}\right.$；
∴-4≤x＜-1，或5＜x≤6；
∴实数x的取值范围为[-4，-1）∪（5，6]．

点评 考查一元二次不等式的解法，必要条件的定义，p∨q，p∧q的真假和p，q真假的关系，真假命题的定义．