题目内容
9.椭圆$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1$(a>b>0)上存在一点 P满足$∠{A}{P}F=\frac{π}{2}$,F为椭圆的左焦点,A为椭圆的右顶点,则椭圆的离心率的范围是( )A. | $({0,\frac{1}{2}})$ | B. | $({0,\frac{{\sqrt{2}}}{2}})$ | C. | $({\frac{1}{2},1})$ | D. | $({\frac{{\sqrt{2}}}{2},1})$ |
分析 由题意求出以FA为直径的圆的方程,联立圆与椭圆方程,求出点P的坐标,由P得横坐标满足-c<xP<a求解.
解答 解:如图,
A(a,0),F(-c,0),
以FA为直径的圆的方程为$(x-\frac{a-c}{2})^{2}+{y}^{2}=(\frac{a+c}{2})^{2}$,
整理得:x2-(a-c)x+y2-ac=0.
联立$\left\{\begin{array}{l}{\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}+\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}=1}\\{{x}^{2}-(a-c)x+{y}^{2}-ac=0}\end{array}\right.$,消去y得:c2x2-a2(a-c)x+a2(b2-ac)=0.
由题意可得:a,xP为方程c2x2-a2(a-c)x+a2(b2-ac)=0的两根.
由根与系数的关系可得:${x}_{P}+a=\frac{{a}^{2}(a-c)}{{c}^{2}}$,
∴${x}_{P}=\frac{{a}^{2}(a-c)}{{c}^{2}}-a=\frac{{a}^{3}-{a}^{2}c-a{c}^{2}}{{c}^{2}}$.
由图可知:-c<xP<a.
即$-c<\frac{{a}^{3}-{a}^{2}c-a{c}^{2}}{{c}^{2}}<a$,
化简左边可得(a-c)2>0恒成立;
化简右边可得2e2+e-1>0,解得e<-1或e$>\frac{1}{2}$.
又0<e<1,∴$\frac{1}{2}<e<1$.
故选:C.
点评 本题考查了椭圆的标准方程与简单几何性质,圆与圆锥曲线位置关系的应用问题,解题的关键是得到关于a,c的等式,体现了数学转化思想方法,属中档题.
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