Question

已知数列{a_n}中a₁=1，且a_2k=a_2k-1+（-1）^k，a_2k+1=a_2k+3^k，其中k=1，2，3，…．
（I）求a₃，a₅；
（II）求{a_n}的通项公式．

Answer 1

【答案】分析：（I）由题意知a₂=a₁+（-1）¹=0，a₃=a₂+3¹=3．a₄=a₃+（-1）²=4，a₅=a₄+3²=13．
（II）由题设条件知a_2k+1-a_2k-1=3^k+（-1）^k，a_2k-1-a_2k-3=3^k-1+（-1）^k-1，由此得a_2k+1-a₁=（3^k-1）+[（-1）^k-1]，于是a_2k+1=由此可求出{a_n}的通项公式．
解答：解：（I）a₂=a₁+（-1）¹=0，
a₃=a₂+3¹=3．
a₄=a₃+（-1）²=4，
a₅=a₄+3²=13，
所以，a₃=3，a₅=13．
（II）a_2k+1=a_2k+3^k
=a_2k-1+（-1）^k+3^k，
所以a_2k+1-a_2k-1=3^k+（-1）^k，
同理a_2k-1-a_2k-3=3^k-1+（-1）^k-1，
a₃-a₁=3+（-1）．
所以（a_2k+1-a_2k-1）+（a_2k-1-a_2k-3）++（a₃-a₁）
=（3^k+3^k-1++3）+[（-1）^k+（-1）^k-1++（-1）]，
由此得a_2k+1-a₁=（3^k-1）+[（-1）^k-1]，
于是a_2k+1=
a_2k=a_2k-1+（-1）^k=（-1）^k-1-1+（-1）^k=（-1）^k=1．
{a_n}的通项公式为：
当n为奇数时，a_n=；
当n为偶数时，
点评：本题主要考查数列，等比数列的概念和基本知识，考查运算能力以及分析、归纳和推理能力．