题目内容
16．已知正项等比数列{an}满足：a8-a7-2a6=0，若存在两项am，an，使得$\sqrt{{a}_{m}{a}_{n}}$=4a2，则$\frac{1}{m}$+$\frac{9}{n}$的最小值为（ ）| A． | 2 | B． | 3 | C． | 4 | D． | 1 |
分析 设正项等比数列{an}的公比为q：由a8-a7-2a6=0，化为q2-q-2=0，q＞0．解得q．存在两项am，an，使得$\sqrt{{a}_{m}{a}_{n}}$=4a2，化为：m+n=8，再利用基本不等式的性质即可得出．
解答 解：设正项等比数列{an}的公比为q：∵a8-a7-2a6=0，
∴${a}_{6}{q}^{2}-{a}_{6}q-2{a}_{6}$=0，
化为q2-q-2=0，q＞0．
解得q=2，
∵存在两项am，an，使得$\sqrt{{a}_{m}{a}_{n}}$=4a2，
∴$\sqrt{{a}_{1}^{2}{q}^{m+n-2}}$=4a1q，q=2．
化为：m+n=8，
则$\frac{1}{m}$+$\frac{9}{n}$=$\frac{1}{8}（m+n）$$（\frac{1}{m}+\frac{9}{n}）$=$\frac{1}{8}$$（10+\frac{n}{m}+\frac{9m}{n}）$≥$\frac{1}{8}$（10+2$\sqrt{\frac{n}{m}•\frac{9m}{n}}$）=2，当且仅当n=3m=6时取等号．
∴$\frac{1}{m}$+$\frac{9}{n}$的最小值为2．
故选：A．
点评 本题考查了等比数列的通项公式、指数幂的运算性质、基本不等式的性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．
练习册系列答案
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