Question

已知不等式ax²+x+c＞0的解集为{x|1＜x＜3}．
（Ⅰ）求a，c的值；
（Ⅱ）若“ax²+2x+4c＞0”是“x+m＞0”的充分不必要条件，求实数m的取值范围．

Answer 1

分析：（I）利用一元二次不等式的解集与相应的一元二次方程的实数根的关系即可求出；
（II）“ax²+2x+4c＞0”是“x+m＞0”的充分不必要条件，将它们对应的不等式分别解出，可得集合{x|2＜x＜6}?}x|x＞-m}，从而建立关于m的不等关系，解关于m不等式即可得到实数m的取值范围．

解答：解：（Ⅰ）依题意得，1、3是方程ax²+x+c=0的两根，且a＜0，----------------------（1分）
所以，

a＜0 1+3=- 1 a 1×3= c a

---------------------------------------------------------（4分）
解得，

a=- 1 4 c=- 3 4

；---------------------------------------------------------（6分）
（Ⅱ）由（Ⅰ）得a=-

1

4

，c=-

3

4

，所以，ax²+2x+4c＞0即为-

1

4

x²+2x-3＞0，
解得，2＜x＜6，又x+m＞0 解得  x＞-m，-------------------------------------（8分）
∵“ax²+2x+4c＞0”是“x+m＞0”的充分不必要条件，
∴{x|2＜x＜6}?}x|x＞-m}，-----------------------------------（10分）
∴-m≤2，即  m≥-2，
∴m的取值范围是[-2，+∞）．------------------------（12分）

点评：本题给出不等式的解集，叫我们判断充分必要性，着重考查了一元二次不等式的解法和充要条件的判断等知识，属于基础题．熟练掌握一元二次不等式的解集与相应的一元二次方程的实数根的关系和充要条件的定义是解题的关键．