Question

【题目】已知函数f（x）=lnx﹣mx+m，m∈R．
（1）已知函数f（x）在点（l，f（1））处与x轴相切，求实数m的值；
（2）求函数f（x）的单调区间；
（3）在（1）的结论下，对于任意的0＜a＜b，证明： ＜ ﹣1．

Answer 1

【答案】
（1）解：由f（x）=lnx﹣mx+m，得 ．

∵f（x）在点（l，f（1））处与x轴相切，

∴f′（1）=1﹣m=0，即m=1

（2）解：∵ ．

当m≤0时， ，知函数f（x）在（0，+∞）递增；

当m＞0时， ，由f′（x）＞0，得 ，

由f′（x）＞0，得 ．

即函数f（x）在 上递增，在 上递减

（3）证明：由（1）知m=1，得f（x）=lnx﹣x+1，

对于任意的0＜a＜b， ＜ ﹣1可化为

，其中0＜a＜b，

，其中0＜a＜b，

lnt﹣t+1＜0，t＞1，即f（t）＜0，t＞1．

由（2）知，函数f（x）在（1，+∞）递减，且f（1）=0，于是上式成立．

故对于任意的0＜a＜b， 成立

【解析】（1）求出原函数的导函数，由函数f（x）在点（l，f（1））处与x轴相切，可得f′（1）=0，从而求得m的值；（2）由（1）中求得的函数f（x）的导函数，对m进行分类，m≤0时，有f′（x）＞0，函数f（x）在（0，+∞）递增；m＞0时，由导函数大于0和小于0分别求出函数的增区间和减区间；（3）把（1）中求出的m值代入函数解析式，把 ＜ ﹣1转化为 ，令 后转化为lnt﹣t+1＜0，t＞1，即f（t）＜0，t＞1．由（2）中的函数的单调性得到证明．
【考点精析】本题主要考查了利用导数研究函数的单调性的相关知识点，需要掌握一般的,函数的单调性与其导数的正负有如下关系： 在某个区间内，(1)如果，那么函数在这个区间单调递增；(2)如果，那么函数在这个区间单调递减才能正确解答此题．