Question

14．（1）不等式ax²+5x-2＞0解是$\left\{{\left.x\right|\frac{1}{2}＜x＜2}\right\}$，解不等式ax²-5x+a²-1＞0；
（2）求不等式|2x-1|+|x+2|≥4的解集．

Answer 1

分析 （1）由条件利用韦达定理求得a的值，从而求得不等式ax²-5x+a²-1＞0的解集．
（2）把原不等式去掉绝对值，转化为与之等价的三个不等式组，分别求得每个不等式组的解集，再取并集，即得所求．

解答 解：（1）∵不等式ax²+5x-2＞0解是$\left\{{\left.x\right|\frac{1}{2}＜x＜2}\right\}$，∴$\frac{1}{2}$+2=-$\frac{5}{a}$  $\frac{1}{2}$×2=$\frac{-2}{a}$，
求得a=-2，不等式ax²-5x+a²-1＞0，即-2x²-5x+3＞0，即2x²+5x-3＜0，求得-3＜x＜$\frac{1}{2}$，
故不等式ax²-5x+a²-1＞0的解集为{x|-3＜x＜$\frac{1}{2}$ }．
（2）求不等式|2x-1|+|x+2|≥4，等价于$\left\{\begin{array}{l}{x＜-2}\\{1-2x-x-2≥4}\end{array}\right.$①，或$\left\{\begin{array}{l}{-2≤x≤\frac{1}{2}}\\{1-2x+x+2≥4}\end{array}\right.$②，或$\left\{\begin{array}{l}{x＞\frac{1}{2}}\\{2x-1+x+2≥4}\end{array}\right.$．
解①求得x＜-2，解②求得-2≤x≤-1，解③求得x≥1，
综上可得，原不等式的解集为{x|x≤-1，或x≥1}．

点评 本题主要考查绝对值不等式的解法，一元二次不等式的解法，韦达定理，体现了分类讨论、等价转化的数学思想，属于中档题．