Question

设数列{a_n}的前n项和为Sn，且S_n=4a_n-p，其中p是不为零的常数．
（1）证明：数列{a_n}是等比数列；
（2）当p=3时，若数列{b_n}满足b_n+1=b_n+a_n（n∈N^*），b₁=2，求数列{b_n}的通项公式．

Answer 1

分析：（1）通过S_n=4a_n-p，利用a_n=S_n-S_n-1，求出an=

4

3

an-1，利用等比数列的定义证明数列{a_n}是等比数列；
（2）当p=3时，若数列{b_n}满足b_n+1=b_n+a_n（n∈N^*），b₁=2，推出bn+1-bn=(

4

3

)n-1，利用b_n=b₁+（b₂-b_′1）+（b₃-b₂）++（b_n-b_n-1），求数列{b_n}的通项公式．

解答：证明：（1）证：因为S_n=4a_n-p（n∈N^*），则S_n-1=4a_n-1-p（n∈N^*，n≥2），
所以当n≥2时，a_n=S_n-S_n-1=4a_n-4a_n-1，整理得an=

4

3

an-1．（5分）
由S_n=4a_n-p，令n=1，得a₁=4a₁-p，解得a1=

p

3

．
所以a_n是首项为

p

3

，公比为

4

3

的等比数列．（7分）
（2）解：因为a₁=1，则an=(

4

3

)n-1，
由b_n+1=a_n+b_n（n=1，2，），得bn+1-bn=(

4

3

)n-1，（9分）
当n≥2时，由累加得b_n=b₁+（b₂-b_′1）+（b₃-b₂）+…+（b_n-b_n-1）=2+

1-( 4 3 )n-1

1- 4 3

=3(

4

3

)n-1-1，
当n=1时，上式也成立．（14分）

点评：本题是中档题，考查数列的通项公式的应用，等比数列的证明，注意利用a_n=S_n-S_n-1时，必须验证n=1的情形，否则容易出错误．