题目内容
【题目】已知函数.
(1)当时,求函数
的最小值;
(2)当时,求函数
的单调区间;
(3)当时,设函数
,若存在区间
,使得函数
在
上的值域为
,求实数
的最大值.
【答案】(1) (2)答案不唯一,见解析 (3)
【解析】
(1)求导,接着单调区间,即可得出最小值;
(2)求导,对分类讨论,可求出函数
的单调区间;
(3)求出,通过分析
,可得到
在
增函数,从而有
,转化为
在
上至少有两个不同的正根
,
,转化为
与
至少有两个交点,即可求出实数
的最大值.
(1)当时,
,
这时的导数,
令,即
,解得
,
令得到
,
令得到
,
故函数在
单调递减,在
单调递增;
故函数在
时取到最小值,
故;
(2)当时,函数
导数为,
若时,
,
单调递减,
若时,
,
当或
时,
,
当时,
,
即函数在区间
,
上单调递减,
在区间上单调递增.
若时,
,
当或
时,
,
当时,
,
函数在区间
,
上单调递减,
在区间上单调递增.
综上,若时,函数
的减区间为
,无增区间,
若时,函数
的减区间为
,
,增区间为
,
若时,函数
的减区间为
,
,增区间为
.
(3)当时,设函数
.
令,
,
当时,
,
为增函数,
,
为增函数,
在区间
上递增,
∵在
上的值域是
,
所以在
上至少有两个不同
的正根,
,
令,求导得,
,
令,
则,
所以在
递增,
,
,
当,
,∴
,
当,
,∴
,
所以在
上递减,在
上递增,
∴,∴
,
∴的最大值为
.
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