题目内容
【题目】设函数.
(Ⅰ)求证:当时,
;
(Ⅱ)存在,使得
成立,求a的取值范围;
(Ⅲ)若对
恒成立,求b的取值范围.
【答案】(Ⅰ)详见解析;(Ⅱ);(Ⅲ)
或
.
【解析】
(Ⅰ)转化求函数g(x)在(0,π]上的最大值,利用函数的导数判断单调性进而求解;
(Ⅱ)依题意即转化为求函数f(x)在(0,π]上的最小值,利用函数的导数判断单调性进而求解;
(Ⅲ)先表示出函数g(bx),将恒成立问题转化为函数求最值问题,利用函数的导数判断单调性进而求解,注意b的范围的讨论.
(Ⅰ)因为当时,
,
所以在
上单调递减,
又,所以当
时,
.
(Ⅱ)因为,
所以,
由(Ⅰ)知,当时,
,所以
,
所以在
上单调递减,则当
时,
由题意知,在
上有解,所以
,从而
.
(Ⅲ)由,得
对
恒成立,
①当,0,1时,不等式显然成立.
②当时,因为
,所以取
,
则有,此时不等式不恒成立.
③当时,由(Ⅱ)可知
在
上单调递减,而
,
,
成立.
④当时,当
时,
,
则,
不成立,
综上所述,当或
时,有
对
恒成立.
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