题目内容
【题目】设S、T是R的两个非空子集,如果函数满足:①
;②对任意
,
,当
时,恒有
,那么称函数
为集合S到集合T的“保序同构函数”.
(1)试写出集合到集合R的一个“保序同构函数”;
(2)求证:不存在从集合Z到集合Q的“保序同构函数”;
(3)已知是集合
到集合
的“保序同构函数”,求s和t的最大值.
【答案】(1) ,(2)证明见解析,(3)
的最大值为1,
的最大值为
【解析】
(1)直接由题意写出即可;
(2)用反证法证明即可;
(3)用定义证明在
上递增,在
上递减后,可得
,
.
(1)取,该函数是集合
到集合R的一个“保序同构函数”;
证明:任取,
则,
因为在
上为增函数,所以
,
即,由定义可知, 函数
是集合
到集合R的一个“保序同构函数”.
(2)证明:假设存在一个从集合到集合
的“保序同构函数”,由“保序同构函数”的定义可知,集合
和集合
中的元素必须是一一对应的,不妨设整数0和1在
中的像分别为
和
,根据保序性,因为0<1,所以
,又
也是有理数,但是
没有确定的原像,因为0和1之间没有另外的整数了,故假设不成立,故不存在从集合Z到集合Q的“保序同构函数”.
(3)设,则
,
所以当时,
,
所以,即
,所以
在
上递增,
当时,
,所以
,即
,
所以在
上递减,
因为是集合
到集合
的“保序同构函数”,
所以在
上递增,所以
,所以
的最大值为1,
的最大值为
.
![](http://thumb2018.1010pic.com/images/loading.gif)
【题目】2019年9月28日中国女排在世界杯第10轮比赛中,以的比分战胜塞尔维亚女排,从而在本次女排世界杯中取得10连胜,提前一轮卫冕世界杯冠军.世界杯是单循环赛制,中国女排要和11个对手轮番对决,比赛中以
或
取胜的球队积3分,负队积0分,而在比赛中以
取胜的球队积2分,负队积1分,通过最终的总积分来决定最后的名次归属.下某网站上整理了2003年以来中国队与世界女排强队的50场比赛胜负情况如下表.
中国队和世界女排强队较量的胜负 | |||||||
年份 | 比赛类别 | 古巴 | 巴西 | 俄罗斯 | 意大利 | 美国 | 塞尔维亚 |
2003 | 世界杯 | ○ | ○ | ○ | ○ | ||
2004 | 奥运会(小组赛) | ● | ○ | ○ | |||
2004 | 奥运会(淘汰赛) | ○ | ○ | ||||
2006 | 世锦赛 | ● | ● | ○ | |||
2008 | 奥运会(小组赛) | ● | ● | ||||
2008 | 奥运会(淘汰赛) | ○ | ● | ○ | |||
2010 | 世锦赛 | ○ | ● | ● | |||
2011 | 世界杯 | ● | ● | ● | ○ | ||
2012 | 奥运会 | ● | ● | ○ | |||
2014 | 世锦赛 | ○ | ● | ○ | ● | ○ | |
2015 | 世界杯 | ○ | ○ | ● | |||
2016 | 奥运会(小组赛) | ○ | ○ | ● | ● | ||
2016 | 奥运会(淘汰赛) | ○ | |||||
2018 | 世锦赛(小组赛) | ○ | ● | ○ | |||
2018 | 世锦赛(复赛) | ○ | ● | ○ | |||
2019 | 世界杯 | ○ | ○ | ○ | ○ | ||
说明:○中国队获胜,●中国队败北,比分差:○表示分差为1(例如 |
(1)若根据表中数据进行推断:求中国队与巴西队比赛获得积分的平均数;
(2)现从中国队与美国比赛获胜的比赛视频中任意调取两场进行观看,求至少有一场是中国队以获胜的比赛的概率.