Question

（2009•闸北区一模）如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是菱形，PA⊥平面ABCD，AB=1，PA•AC=1，∠ABC=θ（0°＜θ≤90°）．
（1）若θ=90°，E为PC的中点，求异面直线PA与BE所成角的大小；
（2）试求四棱锥P-ABCD的体积V的最小值．

Answer 1

分析：（1）设O为AC的中点，连接OE，得∠OEB即为异面直线PA与BE所成角，再结合△BOE为直角三角形以及AB=1，θ=90°，求出AC以及△BOE的两边长即可求出∠OEB；
（2）先根据条件得到四边形ABCD的面积S=sinθ，由余弦定理可求得AC=

2-2cosθ

，即可得到PA，进而表示出四棱锥P-ABCD的体积，整理后再借助于三角函数的取值范围即可解题．

解答：解：（1）设O为AC的中点，连接OE，
则OE∥PA，∠OEB即为异面直线PA与BE所成角（1分）
∵PA⊥平面ABCD
∴OE⊥平面ABCD
∴△BOE为直角三角形（2分）
∵θ=90°，AB=1，
∴AC=

2

．
又∵PA•AC=1，
∴PA=

2

2

∴OE=

2

4

，BO=

2

2

（2分）
所以，异面直线PA与BE所成角∠OEB=arctan2（1分）
（2）由已知，四边形ABCD的面积S=sinθ，（1分）
由余弦定理可求得AC=

2-2cosθ

，（1分）
∴PA=

1

2-2cosθ

，（1分）
∴V=

1

3

•

sinθ

2-2cosθ

（1分）
∴V=

2

6

•

sin2θ 1-cosθ

=

2

6

•

1+cosθ

（2分）
所以，当cosθ=0，即θ=90°时，四棱锥V-ABCD的体积V的最小值是

2

6

．（2分）

点评：本题主要考查异面直线及其所成的角以及棱锥的体积计算．求异面直线所成的角的关键在于通过作平行线把其转化为相交直线，然后在三角形中求角．