题目内容
已知四棱锥P-ABCD的底面是边长为2的菱形，且∠ABC=60°，PA=PC=2，PB=PD．（Ⅰ）若O是AC与BD的交点，求证：PO⊥平面ABCD；
（Ⅱ）若点M是PD的中点，求异面直线AD与CM所成角的余弦值．
分析：（Ⅰ）连接AC与BD交于点O，连OP．根据等腰三角形三线合一的性质可得PO⊥AC，PO⊥BD，再由线面垂直的判定定理即可得到答案．
（II）取PA的中点N，连接MN，由三角形中位线定理可得MN∥AD，则∠NMC就是异面直线AD与CM所成角，解三角形NMC即可得到异面直线AD与CM所成角的余弦值．
（II）取PA的中点N，连接MN，由三角形中位线定理可得MN∥AD，则∠NMC就是异面直线AD与CM所成角，解三角形NMC即可得到异面直线AD与CM所成角的余弦值．
解答：
证明：（Ⅰ）连接AC与BD交于点O，连OP．
∵PA=PC，PD=PB，且O是AC和BD的中点，
∴PO⊥AC，PO⊥BD
∴PO⊥平面ABCD．
解：（Ⅱ）取PA的中点N，连接MN，则MN∥AD，
则∠NMC就是所求的角，
根据题意得MN=1，NC=
，PD=
所以，MC=
=
=
故 cos∠NMC=
=
证明：（Ⅰ）连接AC与BD交于点O，连OP．∵PA=PC，PD=PB，且O是AC和BD的中点，
∴PO⊥AC，PO⊥BD
∴PO⊥平面ABCD．
解：（Ⅱ）取PA的中点N，连接MN，则MN∥AD，
则∠NMC就是所求的角，
根据题意得MN=1，NC=
| 3 |
| 6 |
所以，MC=
| PC2-PM2 |
4-
|
| ||
| 2 |
故 cos∠NMC=
| MN2+MC2-NC2 |
| 2MN•MC |
| ||
| 20 |
点评：本题考查的知识点是异面直线及其所成的角，直线与平面垂直的判定，其中（I）的关键是添加辅助线，利用等腰三角形的性质得到线线垂直，为线面垂直的判定准备条件，（II）的关键是得到∠NMC就是异面直线AD与CM所成角，进而将异面直线的夹角转化为解三角形问题．
练习册系列答案
相关题目
如图，已知四棱锥P--ABC的底面ABCD为正方形，PA⊥平面ABCD，PA=AB=2，e为PC的中点，F为AD的中点．
如图，已知四棱锥P-ABCD的底面是直角梯形，∠ABC=∠BCD=90°，AB=BC=2CD=2，PB=PC，侧面PBC⊥底面ABCD，O是BC的中点．
已知四棱锥P-ABCD的底面是直角梯形，∠ABC=∠BCD=90°，E为BC中点，AE与BD交于O点，AB=BC=2CD=2，BD⊥PE．
如图，已知四棱锥P-ABCD中，PA⊥平面ABCD，底面ABCD是直角梯形，∠DAB=∠ABC=90°，E是线段PC上一点，PC⊥平面BDE．