Question

【题目】已知函数f（x）=Asin（ωx+）（其中A＞0，||＜ ，ω＞0）的图象如图所示，
（1）求函数f（x）的解析式；
（2）若关于x的方程f（x）+ cos2x﹣ sin2x﹣k=0在[0， ]上只有一解，求k的取值范围．

Answer 1

【答案】
（1）解：∵函数f（x）的最大值为1，A＞0，

∴A=1，

又∵函数的周期T=2×[ ﹣（﹣ ）]=π，

∴ω= = =2，

∴函数图象经过点P（ ，0），即：sin（2× +）=0，可得：2× +=kπ，k∈Z，解之得：=kπ﹣ ，k∈Z，

∵||＜ ，

∴解得：= ，

∴函数的表达式为：f（x）=sin（2x+ ）

（2）解：∵f（x）+ cos2x﹣ sin2x﹣k=0，

∴sin（2x+ ）+ cos2x﹣ sin2x﹣k=0，化简可得：2cos（2x+ ）=k，

由题意可得函数g（x）=2cos（2x+ ） 与直线y=k在[0， ]上只有一解，

由于x∈[0， ]，故2x+ ∈[ ， ]，

故g（x）=2cos（2x+ ）∈[﹣2， ]．

如图，要使的两个函数图形有一个交点必须使得k∈（﹣ ， ]∪{﹣2}

【解析】（1）根据函数的最值得到A，再由函数的周期，结合周期公式得到ω的值，再根据函数图象经过点P（ ，0），结合范围||＜ ，解得的值，从而得到函数的表达式．（2）由题意可知函数g（x）=2cos（2x+ ） 与直线y=k在[0， ]上只有一解，结合余弦函数的图象和性质可得k的取值范围．