题目内容
【题目】无穷数列
满足： 
为正整数，且对任意正整数
， 
为前
项
， 
， 
， 
中等于
的项的个数.
（Ⅰ）若
，请写出数列
的前7项；
（Ⅱ）求证：对于任意正整数
，必存在
，使得
；
（Ⅲ）求证:“
”是“存在
，当
时，恒有
成立”的充要条件。
【答案】（Ⅰ）2，1，1，2，2，3，1；（Ⅱ）证明见解析；（Ⅲ）证明见解析.
【解析】试题分析：（Ⅰ）根据题设条件，直接写出即可；
（Ⅱ）假设存在正整数
，使得对任意的
， 
，利用反证法证明即可；
（Ⅲ）可分充分性和必要性证明即可，当
时，得数列
满足
， 
，当
为偶数，则
；当
为奇数，则
，即可证得充分性；再作出必要性的证明即可.
试题解析：
（Ⅰ）2，1，1，2，2，3，1
（Ⅱ）假设存在正整数
，使得对任意的
， 
. 由题意， 
考虑数列
的前
项：
， 
， 
，…， 
其中至少有
项的取值相同，不妨设
此时有： 
，矛盾.
故对于任意的正整数
，必存在
.
（Ⅲ）充分性：
当
时，数列
为
， 
， 
， 
， 
， 
， 
，…， 
， 
， 
， 
，…
特别地， 
， 
，故对任意的
（1）若
为偶数，则
（2）若
为奇数，则
综上， 
恒成立，特别地，取
有当
时，恒有
成立
方法一:假设存在
（
），使得“存在
，当
时，恒有
成立”
则数列
的前
项为
， 
， 
， 
， 
， 
， 
， 
，…， 
， 
， 
， 
， 
， 
， 
， 
，…， 
， 
， 
， 
， 
， 
，…， 
， 
， 
， 
， 
， 
， 
， 
， 
， 
后面的项顺次为
， 
， 
， 
，…， 
， 
， 
， 
， 
，…， 
， 
， 
， 
， 
，…， 
， 
……
对任意的
，总存在
，使得
， 
，这与
矛盾，故若存在
，当
时，恒有
成立，必有
方法二：若存在
，当
时， 
恒成立，记
.
由第（2）问的结论可知：存在
，使得
（由s的定义知
）
不妨设
是数列
中第一个大于等于
的项，即
均小于等于s.
则
.因为
，所以
，即
且
为正整数，所以
.
记
，由数列
的定义可知，在
中恰有t项等于1.
假设
，则可设
，其中
，
考虑这t个1的前一项，即
，
因为它们均为不超过s的正整数，且
，所以
中一定存在两项相等，
将其记为a，则数列
中相邻两项恰好为（a，1）的情况至少出现2次，但根据数列
的定义可知：第二个a的后一项应该至少为2，不能为1，所以矛盾！
故假设
不成立，所以
，即必要性得证！
综上，“
”是“存在
，当
时，恒有
成立”的充要条件.
津桥教育计算小状元系列答案
【题目】据中国日报网报道：2017年11月13日，TOP500发布的最新一期全球超级计算机500强榜单显示，中国超算在前五名中占据两席，其中超算全球第一“神威太湖之光”完全使用了国产品牌处理器。为了了解国产品牌处理器打开文件的速度，某调查公司对两种国产品牌处理器进行了12次测试，结果如下（数值越小，速度越快，单位是MIPS）
测试1 | 测试2 | 测试3 | 测试4 | 测试5 | 测试6 | 测试7 | 测试8 | 测试9 | 测试10 | 测试11 | 测试12 | |
品牌A | 3 | 6 | 9 | 10 | 4 | 1 | 12 | 17 | 4 | 6 | 6 | 14 |
品牌B | 2 | 8 | 5 | 4 | 2 | 5 | 8 | 15 | 5 | 12 | 10 | 21 |
（Ⅰ）从品牌A的12次测试中，随机抽取一次，求测试结果小于7的概率；
（Ⅱ）从12次测试中，随机抽取三次，记X为品牌A的测试结果大于品牌B的测试结果的次数，求X的分布列和数学期望E（X）；
（Ⅲ）经过了解，前6次测试是打开含有文字和表格的文件，后6次测试是打开含有文字和图片的文件.请你依据表中数据，运用所学的统计知识，对这两种国产品牌处理器打开文件的速度进行评价.
【题目】已知表1和表2是某年部分日期的天安门广场升旗时刻表：
表1：某年部分日期的天安门广场升旗时刻表
日期 | 升旗时刻 | 日期 | 升旗时刻 | 日期 | 升旗时刻 | 日期 | 升旗时刻 |
1月1日 | 7：36 | 4月9日 | 5：46 | 7月9日 | 4：53 | 10月8日 | 6：17 |
1月21日 | 7：11 | 4月28日 | 5：19 | 7月27日 | 5：07 | 10月26日 | 6：36 |
2月10日 | 7：14 | 5月16日 | 4：59 | 8月14日 | 5：24 | 11月13日 | 6：56 |
3月2日 | 6：47 | 6月3日 | 4：47 | 9月2日 | 5：42 | 12月1日 | 7：16 |
3月22日 | 6：15 | 6月22日 | 4：46 | 9月20日 | 5：50 | 12月20日 | 7：31 |
表2：某年1月部分日期的天安门广场升旗时刻表
日期 | 升旗时刻 | 日期 | 升旗时刻 | 日期 | 升旗时刻 |
2月1日 | 7：23 | 2月11日 | 7：13 | 2月21日 | 6：59 |
2月3日 | 7：22 | 2月13日 | 7：11 | 2月23日 | 6：57 |
2月5日 | 7：20 | 2月15日 | 7：08 | 2月25日 | 6：55 |
2月7日 | 7：17 | 2月17日 | 7：05 | 2月27日 | 6：52 |
2月9日 | 7：15 | 2月19日 | 7：02 | 2月28日 | 6：49 |
（1）从表1的日期中随机选出一天，试估计这一天的升旗时刻早于7：00的概率；
（2）甲、乙二人各自从表2的日期中随机选择一天观看升旗，且两人的选择相互独立，记
为这两人中观看升旗的时刻早于7：00的人数，求
的 分布列和数学期望；
（3）将表1和表2的升旗时刻化为分数后作为样本数据（如7：31化为
），记表2中所有升旗时刻对应数据的方差为
，表1和表2中所有升旗时刻对应数据的方差为
，判断
与
的大小（只需写出结论）．
