题目内容
如图，椭圆
与椭圆
中心在原点，焦点均在
轴上，且离心率相同．椭圆的长轴长为
，且椭圆的左准线
被椭圆截得的线段
长为
，已知点
是椭圆
上的一个动点．
⑴求椭圆与椭圆的方程；
⑵设点
为椭圆的左顶点，点
为椭圆的下顶点，若直线
刚好平分
，求点的坐标；
⑶若点
在椭圆
上，点
满足
，则直线
与直线
的斜率之积是否为定值？若是，求出该定值；若不是，说明理由．
（1）
,（2）
，（3）
.
【解析】
试题分析：（1）求椭圆方程，基本方法是待定系数法.关键是找全所需条件. 椭圆中
三个未知数的确定只需两个独立条件，根据椭圆
的长轴长为
得
，又由椭圆的左准线
得
，所以
，
，
，就可得到椭圆的标准方程；由椭圆与椭圆
离心率相同，得
再由椭圆过点
，代入可得椭圆（2）涉及弦中点问题,一般用“点差法”构造等量关系.本题较简单,可直接求出
中点坐标,再利用直线
与椭圆联立方程组求交点坐标;（3）求定值问题,一是确定定值,这可利用特殊情况給于确定,二是参数选择,不仅要揭示问题本质,更要易于消元,特别是整体消元.本题研究的是直线
与直线
的斜率之积,即它们坐标满足
为定值,参数选为点
的坐标,利用点的坐标满足
进行整体消元.
试题解析：⑴设椭圆方程为
，椭圆方程为
，
则
，∴，又其左准线
，∴，则
∴椭圆方程为，其离心率为
， 3分
∴椭圆中
，由线段的
长为
，得,代入椭圆
，
得
，∴
，椭圆方程为； 6分
⑵
，则
中点为
，∴直线
为
， 7分
由
，得
或
，
∴点的坐标为； 10分
⑶设
，
，则
，
，
由题意
，∴
12分
∴
14分
∴
，∴，即
，
∴直线与直线的斜率之积为定值，且定值为． 16分
考点：椭圆方程及基本量,直线与椭圆位置关系.
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