Question

9．如图，三棱台DEF-ABC中，AB=2DE，G，H分别为AC，BC的中点．
（1）求证：BD∥平面FGH；
（2）若CF⊥BC，AB⊥BC，求证：平面BCD⊥平面EGH．

Answer 1

分析 （I）证法一：如图所示，连接DG，CD，设CD∩GF=M，连接MH．由已知可得四边形CFDG是平行四边形，DM=MC．利用三角形的中位线定理可得：MH∥BD，可得BD∥平面FGH；
证法二：在三棱台DEF-ABC中，AB=2DE，H为BC的中点．可得四边形BHFE为平行四边形．BE∥HF．又GH∥AB，可得平面FGH∥平面ABED，即可证明BD∥平面FGH．
（II）连接HE，利用三角形中位线定理可得GH∥AB，于是GH⊥BC．可证明EFCH是平行四边形，可得HE⊥BC．因此BC⊥平面EGH，即可证明平面BCD⊥平面EGH．

解答 （I）证法一：如图所示，连接DG，CD，设CD∩GF=M，连接MH．
在三棱台DEF-ABC中，AB=2DE，G为AC的中点．
∴$DF\underset{∥}{=}GC$，∴四边形CFDG是平行四边形，
∴DM=MC．又BH=HC，
∴MH∥BD，又BD?平面FGH，MH?平面FGH，
∴BD∥平面FGH；
证法二：在三棱台DEF-ABC中，AB=2DE，H为BC的中点．
∴$BH\underset{∥}{=}EF$，
∴四边形BHFE为平行四边形．
∴BE∥HF．
在△ABC中，G为AC的中点，H为BC的中点，
∴GH∥AB，又GH∩HF=H，
∴平面FGH∥平面ABED，
∵BD?平面ABED，∴BD∥平面FGH．
（II）证明：连接HE，∵G，H分别为AC，BC的中点，
∴GH∥AB，
∵AB⊥BC，∴GH⊥BC，
又H为BC的中点，∴EF∥HC，EF=HC，CF⊥BC．
∴EFCH是矩形，∴CF∥HE．
∵CF⊥BC，∴HE⊥BC．
又HE，GH?平面EGH，HE∩GH=H，
∴BC⊥平面EGH，又BC?平面BCD，
∴平面BCD⊥平面EGH．

点评 本题考查了空间线面面面平行与垂直的判定及性质定理、三角形中位线定理、平行四边形的判定与性质定理，考查了空间想象能力、推理能力，属于中档题．