题目内容
4.已知复数z=($\frac{\sqrt{2}i}{1+i}$)2015,i为虚数单位,则z=$\frac{\sqrt{2}-\sqrt{2}i}{2}$.分析 由于$(\frac{\sqrt{2}i}{1+i})^{2}$=$\frac{-2}{2i}$=i,可得复数z=i1007×$\frac{\sqrt{2}i(1-i)}{(1+i)(1-i)}$,化简即可得出.
解答 解:∵$(\frac{\sqrt{2}i}{1+i})^{2}$=$\frac{-2}{2i}$=i,
∴复数z=($\frac{\sqrt{2}i}{1+i}$)2015=$[(\frac{\sqrt{2}i}{1+i})^{2}]^{1007}$×$\frac{\sqrt{2}i}{1+i}$=i1007×$\frac{\sqrt{2}i(1-i)}{(1+i)(1-i)}$=(i4)251×i3×$\frac{\sqrt{2}i+\sqrt{2}}{2}$=$\frac{\sqrt{2}-\sqrt{2}i}{2}$.
故答案为:$\frac{\sqrt{2}-\sqrt{2}i}{2}$.
点评 本题考查了复数的运算法则、复数的周期性,考查了推理能力与计算能力,属于中档题.
练习册系列答案
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19.在复平面内,复数z1=$\frac{2}{1+i}$,z2=$\frac{2}{1-i}$(i为虚数单位)对应的点分别为A,B,则线段AB的长度为( )
A. | 1 | B. | 2 | C. | $\frac{1}{2}$ | D. | $\frac{1}{4}$ |