Question

5．已知函数y=-3x²+2ax-1，x∈[0，1]，记f（a）为其最小值，求f（a）的表达式，并求f（a）的最大值．．

Answer 1

分析 先求出函数的对称轴，通过讨论a的范围，确定函数的单调性，求出f（a）的表达式，从而求出f（a）的最大值即可．

解答 解：f（x）=-3x²+2ax-1=-3（x-$\frac{a}{3}$）²+$\frac{{a}^{2}}{3}$-1
对称轴x=$\frac{a}{3}$，对a的取值分类讨论：
①当$\frac{a}{3}$≤0，即a≤0时：
f（x）在x∈[0，1]上单调递减，
∴f（x）的最小值f（a）=f（1）=-3+2a-1=2a-4≤-4，
②0＜$\frac{a}{3}$≤$\frac{1}{2}$即0＜a≤$\frac{3}{2}$时：
f（x）在[0，$\frac{a}{3}$）递增，在（$\frac{a}{3}$，1]递减，
∴f（a）=f（1）=-3+2a-1=2a-4≤-4，
③$\frac{1}{2}$＜$\frac{a}{3}$≤1即$\frac{3}{2}$＜a≤3时：
f（x）在[0，$\frac{a}{3}$）递增，在（$\frac{a}{3}$，1]递减，
∴f（a）=f（0）=-1，
④$\frac{a}{3}$＞3即a＞9时：
f（x）在[0，1]递增，
∴f（a）=f（0）=-1，
综上f（a）的最大值是-1．

点评 本题考查了二次函数的性质，考查函数的单调性、最值问题，是一道中档题．