Question

设向量

a

，

b

，

c

满足|

a

|=|

b

|=1，

a

•

b

=

1

2

，（ 

a

-

c

）•（ 

b

-

c

）=0，则|

c

|的最大值为（　　）

• A．

  3 +1

  2

• B．

  3 -1

  2

• C．

  3

• D．1

Answer 1

分析：建立坐标系，以

a

，

b

的角平分线所在直线为x轴，使得

a

的坐标为（

3

2

，

1

2

），

b

的坐标为（

3

2

，-

1

2

），设

c

的坐标为（x，y），由条件可得得 (x-

3

2

)2+y²=

1

4

，表示以（

3

2

，0）为圆心，半径等于

1

2

的圆．求出圆心到原点的距离，再加上半径，即得所求．

解答：解：建立坐标系，以

a

，

b

的角平分线所在直线为x轴，使得

a

的坐标为（

3

2

，

1

2

），

b

的坐标为（

3

2

，-

1

2

），设

c

的坐标为（x，y），
则由已知（

a

-

c

）•（

b

-

c

）=0，可得 （

3

2

-x，

1

2

-y）•（

3

2

-x，-

1

2

-y）=0．
化简可得 (x-

3

2

)2+y²=

1

4

，表示以（

3

2

，0）为圆心，半径等于

1

2

的圆．
本题即求圆上的点到原点的距离的最大值，由于圆心到原点的距离等于

3

2

，故圆上的点到原点的距离的最大值为

3

2

+

1

2

，
故选A．

点评：本题考查平面向量数量积的运算，本题解题的关键是写出满足条件的对应的点，根据数形结合思想求出向量的模长，属于基础题．