Question

如图，已知双曲线C₁：，曲线C₂：|y|=|x|+1，P是平面内一点，若存在过点P的直线与C₁，C₂都有公共点，则称P为“C₁-C₂型点“
（1）在正确证明C₁的左焦点是“C₁-C₂型点“时，要使用一条过该焦点的直线，试写出一条这样的直线的方程（不要求验证）；
（2）设直线y=kx与C₂有公共点，求证|k|＞1，进而证明原点不是“C₁-C₂型点”；
（3）求证：圆x²+y²=内的点都不是“C₁-C₂型点”

Answer 1

【答案】分析：（1）由双曲线方程可知，双曲线的左焦点为（），当过左焦点的直线的斜率不存在时满足左焦点是“C₁-C₂型点”，当斜率存在时，要保证斜率的绝对值大于等于该焦点与（0，1）连线的斜率；
（2）由直线y=kx与C₂有公共点联立方程组有实数解得到|k|＞1，分过原点的直线斜率不存在和斜率存在两种情况说明过远点的直线不可能同时与C₁和C₂有公共点；
（3）由给出的圆的方程得到圆的图形夹在直线y=x±1与y=-x±1之间，进而说明当|k|≤1时过圆内的点且斜率为k的直线与C₂无公共点，当|k|＞1时，过圆内的点且斜率为k的直线与C₂有公共点，再由圆心到直线的距离小于半径列式得出k的范围，结果与|k|＞1矛盾．从而证明了结论．
解答：（1）解：C₁的左焦点为（），写出的直线方程可以是以下形式：
或，其中．
（2）证明：因为直线y=kx与C₂有公共点，
所以方程组有实数解，因此|kx|=|x|+1，得．
若原点是“C₁-C₂型点”，则存在过原点的直线与C₁、C₂都有公共点．
考虑过原点与C₂有公共点的直线x=0或y=kx（|k|＞1）．
显然直线x=0与C₁无公共点．
如果直线为y=kx（|k|＞1），则由方程组，得，矛盾．
所以直线y=kx（|k|＞1）与C₁也无公共点．
因此原点不是“C₁-C₂型点”．
（3）证明：记圆O：，取圆O内的一点Q，设有经过Q的直线l与C₁，C₂都有公共点，显然l不与x轴垂直，
故可设l：y=kx+b．
若|k|≤1，由于圆O夹在两组平行线y=x±1与y=-x±1之间，因此圆O也夹在直线y=kx±1与y=-kx±1之间，
从而过Q且以k为斜率的直线l与C₂无公共点，矛盾，所以|k|＞1．
因为l与C₁由公共点，所以方程组有实数解，
得（1-2k²）x²-4kbx-2b²-2=0．
因为|k|＞1，所以1-2k²≠0，
因此△=（4kb）²-4（1-2k²）（-2b²-2）=8（b²+1-2k²）≥0，
即b²≥2k²-1．
因为圆O的圆心（0，0）到直线l的距离，
所以，从而，得k²＜1，与|k|＞1矛盾．
因此，圆内的点不是“C₁-C₂型点”．
点评：本题考查了双曲线的简单几何性质，考查了点到直线的距离公式，考查了直线与圆锥曲线的关系，直线与圆锥曲线联系在一起的综合题在高考中多以高档题、压轴题出现，主要涉及位置关系的判定，弦长问题、最值问题、对称问题、轨迹问题等．突出考查了数形结合、分类讨论、函数与方程、等价转化等数学思想方法．属难题．