Question

15．数列{a_n}满足S_n=2n+2a_n（n∈N^*）．
（1）计算a₁、a₂、a₃，a₄
（2）有同学猜想a_n=2-2^α；请根据你的计算确定α的值，并用数学归纳法证明．

Answer 1

分析 （1）根据题设条件，可求a₁、a₂、a₃，a₄的值，猜想{a_n}的通项公式．
（2）利用数学归纳法的证明步骤对这个猜想加以证明．

解答 解：（1）当n=1时，a₁=S₁=2+2a₁，∴a₁=-2，
当n=2时，a₁+a₂=S₂=2×2+2a₂，∴a₂=-6，
当n=3时，a₁+a₂+a₃=S₃=2×3+2a₃，∴a₃=-14，
当n=4时，a₁+a₂+a₃₊a₄=S₄=2×4+2a₄，∴a₄=-30，
（2）α=n+1，由此猜想a_n=2-2ⁿ⁺¹（n∈N^*）                
证明：①当n=1时，a₁=-2，结论成立，
②假设n=k（k≥1，且k∈N^*）时，猜想成立，
即a_k=2-2^k+1成立，
当n=k+1时，
a_k+1=S_k+1-S_k=2（k+1）+2a_k+1-2k-2a_k=2-2a_k+2a_k+1，
∴a_k+1=-2+2a_k=-2+2（2-2^k+1）=2-2^k+1+1
即，当n=k+1时，猜想成立，
根据，①和②对于一切的自然数n∈N^*，猜想成立．

点评 本题考查数列的递推公式，用数学归纳法证明等式成立．证明当n=k+1时命题也成立，是解题的难点．