题目内容
若直线2ax-by+2=0（a＞0，b＞0）始终平分圆x2+y2+2x-2y+1=0的面积，则
的最大值为
| ab |
| a+b |
6-4
| 2 |
6-4
．| 2 |
分析：根据题意，求出圆的圆心坐标，又由直线始终平分圆的面积，则直线过圆心，将圆心坐标代入直线方程，变形可得2a+b=2，由基本不等式求出
+
的最小值，又由
=
，分析可得
的最大值，即可得答案．
| 1 |
| a |
| 1 |
| b |
| ab |
| a+b |
| 1 | ||||
|
| ab |
| a+b |
解答：解+根据题意，圆的一般方程为x2+y2+2x-2y+1=0，则其圆心坐标为（-1，1），
又由直线2ax-by+2=0始终平分圆x2+y2+2x-2y+1=0的面积，
则直线过圆心，所以有2a×（-1）-b×1+2=0，变形可得2a+b=2；
则有
+
=
×（2a+b）×（
+
）=
×（3+
+
），
又由a＞0，b＞0，
＞0，且
＞0，则有
+
≥2
=2
，
则
+
=
×（3+
+
）≥
，
又由
=
，则
=
≤
=6-4
，
即
的最大值为6-4
；
故答案为6-4
．
又由直线2ax-by+2=0始终平分圆x2+y2+2x-2y+1=0的面积，
则直线过圆心，所以有2a×（-1）-b×1+2=0，变形可得2a+b=2；
则有
| 1 |
| a |
| 1 |
| b |
| 1 |
| 2 |
| 1 |
| a |
| 1 |
| b |
| 1 |
| 2 |
| 2a |
| b |
| b |
| a |
又由a＞0，b＞0，
| 2a |
| b |
| b |
| a |
| 2a |
| b |
| b |
| a |
|
| 2 |
则
| 1 |
| a |
| 1 |
| b |
| 1 |
| 2 |
| 2b |
| a |
| a |
| b |
3+2
| ||
| 2 |
又由
| ab |
| a+b |
| 1 | ||||
|
| ab |
| a+b |
| 1 | ||||
|
| 1 | ||||
|
| 2 |
即
| ab |
| a+b |
| 2 |
故答案为6-4
| 2 |
点评：本题考查直线与圆的位置关系以及基本不等式的运用，难点是利用
=
的关系，关键是分析得到直线2ax-by+2=0过圆的圆心．
| ab |
| a+b |
| 1 | ||||
|
练习册系列答案
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若直线2ax-by+2=0（a＞0，b＞0）被圆x2+y2+2x-4y+1=0截得的弦长为4，则
+
的最小值是（ ）
| 1 |
| a |
| 2 |
| b |
A、4
| ||
B、3+2
| ||
C、3+2
| ||
D、4
|