题目内容
【题目】设椭圆,圆
为
.
(1)若椭圆的长轴为4,且焦距与椭圆
的焦距相等,求椭圆
的标准方程;
(2)过圆上任意一点
作其切线
,若
与椭圆
交于
两点,求证:
为定值(
为坐标原点);
(3)在(2)的条件下,求面积的取值范围.
【答案】(1)或
;(2)证明见解析;(3)
.
【解析】
(1)求出椭圆的焦距,可得椭圆
的焦距,结合椭圆
的长轴为4与性质
,求出
的值,讨论两种情况即可得结果;(2)当直线
的斜率不存在时,
.当直线
的斜率存在时,设其方程为
,与椭圆方程联立 ,利用韦达定理,结合平面向量数量积的坐标表示可证明
从而可得结果;(3)求得
,要求
的取值范围,只需求出弦长
的取值范围.由弦长公式可得
,利用基本不等式可得结果.
(1)设椭圆的标准方程为
或
,由题知
,则
,
∴椭圆的标准方程为
或
;
(2)①当直线的斜率不存在时,不妨设其方程为
,则
,所以
.
②当直线的斜率存在时,设其方程为
,并设
,
则由得
,即
,
故,即
且,
由直线与“相关圆”
相切,得
,即
,
故
,
从而,即
,
综合上述,得为定值.
(3)由于,所以求
的取值范围,只需求出弦长
的取值范围.
当直线的斜率不存在时,由(2)的①,知
;
当直线的斜率存在时,
.
①当时,
;
②当时,因为
,所以
,
故,当且仅当
时,
,
于是的取值范围为
,因此
的取值范围为
.
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