题目内容
【题目】已知定义在上的函数
满足:对任意
都有
.
(1)求证:函数是奇函数;
(2)如果当时,有
,试判断
在
上的单调性,并用定义证明你的判断;
(3)在(2)的条件下,若对满足不等式
的任意
恒成立,求
的取值范围.
【答案】(1)证明见解析(2)函数在
上为增函数,证明见解析(3)
【解析】
(1)先分析定义域是否关于原点对称,再赋值求,令
即可求证(2)先判断
在
上为增函数,再根据定义证明在
上是奇函数,根据奇函数性质知
在
上为增函数(3)根据(2)可得不等式
的解,
在此范围恒成立,分离参数即可求解.
(1)函数的定义域
关于原点对称,令
,可得
,
所以,令
,则
,即
,所以函数为奇函数.
(2)函数在
上为增函数.
证明如下:
设且
,则
,
因为时,有
,
所以,
故
即,
所以函数在
上是增函数,
根据奇函数的性质知函数在
上是增函数,
故在
上为增函数.
(3)因为,
所以,
因为在
上为增函数,
所以,解得
.
即当时,
恒成立,
所以在
上恒成立,
而,
所以只需,
故的取值范围为
.
![](http://thumb2018.1010pic.com/images/loading.gif)
练习册系列答案
相关题目
【题目】为调查某地区老人是否需要志愿者提供帮助,用简单随机抽样方法从该地区调查了500位老年人,结果如下:
性别 是否需要志愿者 | 男 | 女 |
需要 | 40 | 30 |
不需要 | 160 | 270 |
(1)估计该地区老年人中,需要志愿者提供帮助的老年人的比例;
(2)请根据上面的数据分析该地区的老年人需要志愿者提供帮助与性别有关吗