题目内容
【题目】已知函数.
(1)当时,求
在区间
上的最大值和最小值;
(2)若在区间上, 函数
的图象恒在直线
下方, 求
的取值范围;
(3)设.当
时, 若对于任意
,存在
,使
,求实数
的取值范围.
【答案】(1),
(2)
(3)
【解析】
试题分析:(1)先求导数,再求定义区间上的零点
,列表分析单调性,比较区间端点值大小,确定函数最值(2)原题等价于
在区间
上恒成立.利用导数研究
单调性:由于
,所以根据导函数零点讨论:若
,
在区间
上是减函数, 若
,
有增有减,再结合
,所以
不满足题意,只有
时
(3)对于任意
,存在
,使
,等价于
,实际上求最值:
,再变量分离得
的最大值,利用导数可得
的最大值
,从而有
试题解析:(1)当时,
,当
,有
;当
,有
,
在区间
上是增函数, 在
上为减函数, 又
,
.
(2)令,则
的定义域为
,在区间
上, 函数
的图象恒在直线
下方等价于
在区间
上恒成立.
①
① 若,令
,得极值点
,上有
,此时
在区间
上是增函数, 并且在该区间上有
,不合题意, 当
,即
时, 同理可知,
在区间
上, 有
,也不合题意,
②若,则有
,此时在区间
上恒有
,从而
在区间
上是减函数, 要使
在此区间上恒成立, 只须满足
,由此求得
的取值范围是
. 综合① ②可知, 当
时, 函数
的图象恒在直线
下方.
(3)当时, 由(2)中 ① 知
在
上是增函数, 在
上是减函数, 所以对任意
都有
,又已知存在
,使
,即存在
,使
,即存在
,
,即存在
,使
.
,解得
,所以实数
的取值范围是
.
![](http://thumb2018.1010pic.com/images/loading.gif)
【题目】某校100名学生期中考试数学成绩的频率分布直方图如图,其中成绩分组区间如下:
组号 | 第一组 | 第二组 | 第三组 | 第四组 | 第五组 |
分组 |
(1)求图中的值;
(2)根据频率分布直方图,估计这100名学生期中考试数学成绩的平均分;
(3)现用分层抽样的方法从第3、4、5组中随机抽取6名学生,将该样本看成一个总体,从中随机抽取2名,求其中恰有1人的分数不低于90分的概率?