Question

9．如图1是边长为4的等边三角形，将其剪拼成一个正三棱柱模型（如图2），使它的全面积与原三角形的面积相等．D为AC上一点，且BD⊥DC₁．
（1）求证：直线AB₁∥平面BDC₁
（2）求点A到平面BDC₁的距离．

Answer 1

分析 （1）根据题目条件得出BD⊥平面AA₁C₁C，BD⊥AC，D为AC中点，确定条件$\left\{\begin{array}{l}{OD∥A{B}_{1}}\\{OD?平面BD{C}_{1}}\\{A{B}_{1}不在平面}\end{array}\right.$，即AB₁∥平面BDC₁．
（2）根据条件得出：d等于点C到平面BDC₁的距离，CE是点C到平面BDC₁的距离，根据CE=$\frac{DC•C{C}_{1}}{D{C}_{1}}$求解即可．

解答 解：（1）证明：连接B₁C与BC₁交于点O，连接OD，
∵$\left\{\begin{array}{l}{BD⊥D{C}_{1}}\\{BD⊥C{C}_{1}}\\{D{C}_{1}∩C{C}_{1}={C}_{1}}\end{array}\right.$，
∴BD⊥平面AA₁C₁C，
∴BD⊥AC，
 又∵△ABC为等边三角形，
∴AB=BC，
∴D为AC中点，
∵平行四边形BB₁C₁C中O是B₁C的中点，
∴$\left\{\begin{array}{l}{OD∥A{B}_{1}}\\{OD?平面BD{C}_{1}}\\{A{B}_{1}不在平面}\end{array}\right.$，
即AB₁∥平面BDC₁
（2）设点A到平面BDC₁的距离为d
又∵AD=CD，
∴d等于点C到平面BDC₁的距离，
过点C作CE⊥DC₁垂足为E，
∵DB⊥平面AA₁C₁C，
∴BD⊥CE，
又∵DB∩DC₁=D，∴CE⊥平面DBC₁，
则CE是点C到平面BDC₁的距离，
∵AC=2，∴CD=1，CC₁=$\frac{\sqrt{3}}{3}$，
∴C₁D=$\frac{2\sqrt{3}}{3}$，
∴d=CE=$\frac{DC•C{C}_{1}}{D{C}_{1}}$=$\frac{1×\frac{\sqrt{3}}{3}}{\frac{2\sqrt{3}}{3}}$=$\frac{1}{2}$．

点评 本题考查了空间直线平面的平行的判定 定理，空间点性质平面的距离问题，关键是确定距离，转化为平面问题求解，思路要清晰，计算认真．