题目内容
【题目】已知两圆,
的圆心分别为c1,c2,,P为一个动点,且
.
(1)求动点P的轨迹方程;
(2)是否存在过点A(2,0)的直线l与轨迹M交于不同的两点C,D,使得C1C=C1D?若存在,求出直线l的方程;若不存在,请说明理由.
【答案】(1)(2)不存在满足题意的直线l,使得C1C=C1D.
【解析】
试题分析:(1)写出两圆的圆心坐标,根据∵||+|
|=
>2=|
|可知动点P的轨迹是以
和
为焦点、长轴长为2a=
的椭圆,从而易求椭圆方程即所求轨迹方程;(2)当斜率不存在时容易判断,当存在斜率时,设直线l的方程为y=k(x-2),联立直线l方程与椭圆方程消掉y得x的二次方程,则有△>0,设交点C
,D
,CD的中点为N
,求出二次方程的两解,从而可得线段CD中点N的横坐标,代入直线方程可得纵坐标,要使C1C=C1D,必须有
⊥l,即
,解出方程的解k,再检验是否满足△>0即可
试题解析:(1)两圆的圆心坐标分别为C1(1,0),C2(-1,0).
因为,
所以根据椭圆的定义可知,动点P的轨迹为以原点为中心、C1C2为焦点、长轴长为的椭圆,且
,c=1,
所以椭圆的方程为,即动点P的轨迹M的方程为
.
(2)当直线l的斜率不存在时,易知点A(2,0)在椭圆M的外部,直线l与椭圆M无交点,此时直线l不存在.
故直线l的斜率存在,设为k,则直线l的方程为
由得
①
依题意,有,解得
当时,设交点C(x1,y1),D(x2,y2),CD的中点为N(x0,y0),则
,所以
.
要使C1C=C1D必须C1N⊥l,即,所以
,
即-1=0,矛盾.
所以不存在直线l,使得C1C=C1D.
综上所述,不存在满足题意的直线l,使得C1C=C1D.
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