题目内容

已知椭圆(a>b>0)的左顶点和右焦点分别为A,F,右准线为直线m,圆D:x2+y2-6y-4=0.
(1)若点A在圆D上,且椭圆C的离心率为,求椭圆C的方程;
(2)若直线m上存在点Q,使△AFQ为等腰三角形,求椭圆C的离心率的取值范围;
(3)若点P在(1)中的椭圆C上,且过点P可作圆D的两条切线,切点分别为M、N,求弦长MN的取值范围.
【答案】分析:(1)对x2+y2-6y-4=0,令y=0,则x=±2.所以,A(-2,0),a=2,又因为,,所以,,由此能够得到椭圆C的方程.
(2)由△AFQ为等腰三角形,知2c2+ac-a2>0,2e2+e-1>0,(2e-1)(e+1)>0,又0<e<1,所以,由此得到椭圆离心率取值范围.
(3)连PD交MN于H,连DM,则由圆的几何性质知:H为MN的中点,DM⊥PM,MN⊥PD.所以,=.⊙D:x2+(y-3)2=13,,所以.由此能够求出弦长MN的取值范围.
解答:解:(1)对x2+y2-6y-4=0,令y=0,则x=±2.
所以,A(-2,0),a=2(2分)
又因为,
所以,,(3分)
b2=a2-c2=1(4分)
所以,椭圆C的方程为:.(5分)
(2)由图知△AFQ为等腰三角形(7分)
所以,2c2+ac-a2>0,2e2+e-1>0,(2e-1)(e+1)>0
又0<e<1,
所以,即椭圆离心率取值范围为.(10分)
(3)连PD交MN于H,连DM,则由圆的几何性质知:H为MN的中点,DM⊥PM,MN⊥PD.
所以,
=
⊙D:x2+(y-3)2=13,
所以,(13分)
设P(x,y),则且-1≤y<0
所以,PD2=x2+(y-3)2=-3y2-6y2+13=-3(y+1)2+16(-1≤y<0)
所以,13<PD2≤16(15分)
所以,.(16分)
点评:本题考查圆锥曲线和直线的位置关系,解题时要认真审题,注意挖掘题设中的隐含条件,合理地进行等价转化.
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