题目内容
【题目】已知函数f(x)=x
-ax+(a-1)
,
。
(1)讨论函数的单调性;
(2)证明:若,则对任意x
,x
,x
x
,有
。
【答案】(1)见解析(2)见解析
【解析】
分析:(1)根据对数函数定义可知定义域为大于0的数,求出f′(x)讨论当a-1=1时导函数大于0,函数单调递增;当a-1>1时讨论函数的增减性;(2)构造函数g(x)=f(x)+x,求出导函数,根据a的取值范围得到导函数一定大于0,则g(x)为单调递增函数,则利用当x1>x2>0时有g(x1)-g(x2)>0即可得证.
详解:
(1)的定义域为
.
.
(i)若即
,则
,故
在
上单调递增.
(ii)若,而
,故
,则当
时,
;
当及
时,
,
故在
单调递减,在
,
单调递增.
(iii)若即
,同理可得
在
单调递减,在
,
单调递增.
(2)考虑函数,
则
由于,故
,即
在
单调增加,从而当
时有
,即
,故
,
当时,有
.
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