Question

四棱锥P﹣ABCD中，PA⊥底面ABCD，AB∥CD，

（1）求证：BC⊥平面PAC；
（2）求二面角D﹣PC﹣A的平面角的余弦值；
（3）求点B到平面PCD的距离．

Answer 1

解：（1）证明：∵PA⊥底面ABCD，BC平面ABCD，
∵PA⊥BC，∴∠ACB=90°，∴BC⊥AC．
又PA∩AC=A，∴BC⊥平面PAC；
（2）取CD的中点E，则AE⊥CD，∴AE⊥AB．
又PA⊥底面ABCD，AE面ABCD，∴PA⊥AE，
建立空间直角坐标系，如图．则


∴
∴
∴
∴即二面角D﹣PC﹣A的平面角的余弦值为：．
（3）又B（0，2，0），=（0，2，﹣）．
由（2）取平面PCD的一个法向量=（2，0，1）
∴点B到平面PCD的距离的距离为d===．