题目内容

已知椭圆 $数学公式$ （a＞b＞0）的右焦点为 $数学公式$ ，四个顶点构成的四边形面积为12
（1）求椭圆的方程
（2）设点P（0，3），若在椭圆上的点M、N满足 $数学公式$ ，求实数λ的取值范围．

解：（1）∵椭圆 $\text{[math]}$ （a＞b＞0）的右焦点为 $\text{[math]}$ ，
四个顶点构成的四边形面积为12，
∴ $\text{[math]}$ ，
解得a=3，b=2，
∴椭圆的方程为 $\text{[math]}$ ．
（2）设M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），P（0，3）
∵ $\text{[math]}$ ，
（x₁，y₁-3）=λ（x₂，y₂-3），x₁=λx₂，
y=kx+3 与椭圆 $\text{[math]}$ 联立整理得
（9k²+4）x²+54kx+45=0，
x₁+x₂=（1+λ）x₂=- $\text{[math]}$ ，
$\text{[math]}$ ，（1）
$\text{[math]}$ =λx₂²，（2）
将（1）代入（2）
λ $\text{[math]}$ ，
整理得k²= $\text{[math]}$ ，
在（9k²+4）x²+54kx+45=0中，
△=（54k）²-4（9k²+4）×45≥0，
整理得k²≥ $\text{[math]}$ ，
将k²= $\text{[math]}$ 代入，
整理得 $\text{[math]}$ ，
所以 $\text{[math]}$ ．
分析：（1）由椭圆 $\text{[math]}$ （a＞b＞0）的右焦点为 $\text{[math]}$ ，四个顶点构成的四边形面积为12，得到 $\text{[math]}$ ，由此能求出椭圆的方程．
（2）设M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），P（0，3）由 $\text{[math]}$ ，知（x₁，y₁-3）=λ（x₂，y₂-3），x₁=λx₂，y=kx+3 与椭圆 $\text{[math]}$ 联立得（9k²+4）x²+54kx+45=0，由△≥0，得k²≥ $\text{[math]}$ ，由此入手，由韦达定理能够求出实数λ的取值范围．
点评：通过几何量的转化考查用待定系数法求曲线方程的能力，通过直线与圆锥曲线的位置关系处理，考查学生的运算能力．通过向量与几何问题的综合，考查学生分析转化问题的能力，探究研究问题的能力，并体现了合理消元，设而不解的代数变形的思想．