Question

6．已知椭圆$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞b＞0）的离心率为$\frac{1}{2}$，过点P（0，1）的动直线l与椭圆交于A，B两点，当l∥x轴时，|AB|=$\frac{4\sqrt{6}}{3}$
（Ⅰ）求椭圆的方程
（Ⅱ）当|AP|=2|PB|，求直线l的方程．

Answer 1

分析 （Ⅰ）求得y=1与椭圆的交点，代入椭圆方程，结合离心率公式和a，b，c的关系，可得a，b，进而得到椭圆方程；
（Ⅱ）当直线l的方程为x=0时，|AP|=2|PB|显然不成立．可设直线l：y=kx+1，代入椭圆方程，消去y，得到x的方程，运用韦达定理和向量共线的坐标表示，可得k，即可得到所求直线方程．

解答 解：（Ⅰ）由题意，y=1时，x=±$\frac{2\sqrt{6}}{3}$，
代入椭圆方程可得$\frac{\frac{8}{3}}{{a}^{2}}+\frac{1}{{b}^{2}}=1$，
∵椭圆$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞b＞0）的离心率为$\frac{1}{2}$，
∴e²=$\frac{{c}^{2}}{{a}^{2}}$=$\frac{{a}^{2}-{b}^{2}}{{a}^{2}}$=$\frac{1}{4}$，
∴a²=4，b²=3，
即有椭圆方程为$\frac{{x}^{2}}{4}$+$\frac{{y}^{2}}{3}$=1；
（Ⅱ）当直线l的方程为x=0时，|AP|=2|PB|显然不成立．
可设直线l：y=kx+1，
代入椭圆方程3x²+4y²-12=0，
可得（3+4k²）x²+8kx-8=0，
设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
则x₁+x₂=-$\frac{8k}{3+4{k}^{2}}$，x₁x₂=-$\frac{8}{3+4{k}^{2}}$，①
又|AP|=2|PB|，即$\overrightarrow{AP}$=2$\overrightarrow{PB}$，
即有-x₁=2x₂，②
由①②可得，$\frac{128{k}^{2}}{（3+4{k}^{2}）^{2}}$=$\frac{8}{3+4{k}^{2}}$，
解得k=$±\frac{1}{2}$．
则直线l：y=±$\frac{1}{2}$x+1．

点评 本题考查椭圆的方程和性质，主要考查离心率的运用和方程的运用，注意联立方程，运用韦达定理，化简整理，属于中档题．