题目内容
已知a、b、c为正数，n是正整数，且f(n)=lg
，求证：2f（n）≤f（2n）．
| an+bn+cn | 3 |
分析：由基本不等式的推论a2+b2≥2ab，可得（an+bn+cn）2=a2n+b2n+c2n+2an•bn+2an•cn+2bn•cn≤3（a2n+b2n+c2n），进而根据对数的运算性质及f(n)=lg
，可证得结论．
| an+bn+cn |
| 3 |
解答：证明：∵a2+b2≥2ab
∴（an+bn+cn）2
=a2n+b2n+c2n+2an•bn+2an•cn+2bn•cn
≤3（a2n+b2n+c2n）
∴lg（an+bn+cn）2≤lg[3（a2n+b2n+c2n）]
∴lg（an+bn+cn）2≤lg（a2n+b2n+c2n）+lg3
∴2lg（an+bn+cn）≤lg（a2n+b2n+c2n）+lg3
∴2[lg（an+bn+cn）-lg3]≤lg（a2n+b2n+c2n）-lg3
∴2f（n）≤f（2n）
∴（an+bn+cn）2
=a2n+b2n+c2n+2an•bn+2an•cn+2bn•cn
≤3（a2n+b2n+c2n）
∴lg（an+bn+cn）2≤lg[3（a2n+b2n+c2n）]
∴lg（an+bn+cn）2≤lg（a2n+b2n+c2n）+lg3
∴2lg（an+bn+cn）≤lg（a2n+b2n+c2n）+lg3
∴2[lg（an+bn+cn）-lg3]≤lg（a2n+b2n+c2n）-lg3
∴2f（n）≤f（2n）
点评：本题考查的知识点是对数函数的单调性，其中根据基本不等式的推论得到（an+bn+cn）2=a2n+b2n+c2n+2an•bn+2an•cn+2bn•cn≤3（a2n+b2n+c2n），是解答本题的关键．
练习册系列答案
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已知a，b，c为正数，关于x的一元二次方程ax2+bx+c=0有两个相等的实数根．则方程（a+1）x2+（b+2）x+c+1=0的实数根的个数是（ ）
| A、0或1 | B、1或2 | C、0或2 | D、不确定 |