Question

已知a，b，c为正数，且两两不等，求证：2（a³+b³+c³）＞a²（b+c）+b²（a+c）+c²（a+b）．

Answer 1

分析：不妨设a＞b＞c＞0，化简 2（a³+b³+c³）-a²（b+c）+b²（a+c）+c²（a+b）为 （a-b）²（a+b）+（b-c）²（b+c）+（c-a）²（c+a）＞0，从而证得不等式．

解答：证明：不妨设a＞b＞c＞0，则 （a-b）²＞0，（b-c）²＞0，（c-a）²＞0．
由于 2（a³+b³+c³）-a²（b+c）+b²（a+c）+c²（a+b）=a²（a-b）+a²（a-c）+b²（b-c）+b²（b-a）+c²（c-a）+c²（c-b） 
=（a-b）²（a+b）+（b-c）²（b+c）+（c-a）²（c+a）＞0，
故有 2（a³+b³+c³）＞a²（b+c）+b²（a+c）+c²（a+b）成立．

点评：本题主要考查用综比较法证明不等式，式子的变形是解题的关键，属于中档题．