题目内容

如图，已知椭圆C： $数学公式$ + $数学公式$ =1（a＞b＞0）的左、右焦点为F₁，F₂，其上顶点为A．已知△F₁AF₂是边长为2的正三角形．
（Ⅰ）求椭圆C的方程；
（Ⅱ）过点Q（-4，0）任作一动直线l交椭圆C于M，N两点，记 $数学公式$ =-λ• $数学公式$ 若在线段MN上取一点R，使得 $数学公式$ =λ• $数学公式$ ，试判断当直线l运动时，点R是否在某一定直线上运动？若在，请求出该定直线的方程；若不在，请说明理由．

解：（Ⅰ）∵已知△F₁AF₂是边长为2的正三角形，∴c=1，a=2，…（2分）
∴ $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$
∴椭圆C的方程为 $\text{[math]}$ ．…（4分）
（Ⅱ）直线MN的斜率必存在，设其直线方程为y=k（x+4），并设M（x₁，y₁），N（x₂，y₂）．
直线方程与椭圆方程联立，消去y得（3+4k²）x²+32k²x+64k²-12=0，则
△=144（1-4k²）＞0，x₁+x₂= $\text{[math]}$ ，x₁x₂= $\text{[math]}$ …（7分）
由 $\text{[math]}$ =λ• $\text{[math]}$ ，得-4-x₁=λ（x₂+4），故λ=- $\text{[math]}$ ．…（9分）
设点R的坐标为（x₀，y₀），则由 $\text{[math]}$ =-λ• $\text{[math]}$ 得x₀-x₁=-λ（x₂-x₀），解得
$\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$
= $\text{[math]}$ =-1．…（13分）
故点R在定直线x=-1上．…（14分）
分析：（Ⅰ）由△F₁AF₂是边长为2的正三角形，可得c=1，a=2，从而可求b，即可得到椭圆C的方程；
（Ⅱ）设直线方程与椭圆方程联立，利用韦达定理，由 $\text{[math]}$ =-λ• $\text{[math]}$ ，确定λ的值，由 $\text{[math]}$ =λ• $\text{[math]}$ ，可得R的横坐标为定值，即可得到结论．
点评：本题考查椭圆方程，考查直线与椭圆的位置关系，考查向量知识的运用，考查学生的计算能力，属于中档题．

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如图，已知椭圆C：

=1（a＞b＞0）的焦点和上顶点分别为F₁、F₂、B，我们称△F₁BF₂为椭圆C的特征三角形．如果两个椭圆的特征三角形是相似的，则称这两个椭圆是“相似椭圆”，且三角形的相似比即为椭圆的相似比．
（1）已知椭圆C₁：

+y²=1和C₂：

=1，判断C₂与C₁是否相似，如果相似则求出C₂与C₁的相似比，若不相似请说明理由；
（2）已知直线l：y=x+1，在椭圆C_b上是否存在两点M、N关于直线l对称，若存在，则求出函数f（b）=|MN|的解析式．

如图，已知椭圆C：

=1(a＞b＞0)的左、右焦点分别为F₁（0，c）、F₂（0，-c）（c＞0），抛物线P：x²=2py（p＞0）的焦点与F₁重合，过F₂的直线l与抛物线P相切，切点E在第一象限，与椭圆C相交于A、B两点，且

．
（1）求证：切线l的斜率为定值；
（2）若动点T满足：

的最小值为-

，求抛物线P的方程；
（3）当λ∈[2，4]时，求椭圆离心率e的取值范围．

如图，已知椭圆C：

=1（a＞b＞0）的离心率e=

，F₁、F₂分别为椭圆C的左、右焦点，A（0，b），且

=-2过左焦点F₁作直线l交椭圆于P₁、P₂两点．
（1）求椭圆C的方程；
（2）若直线l的倾斜角a∈[

]，直线OP₁，OP₂与直线x=-

分别交于点S、T，求|ST|的取值范围．

如图，已知椭圆C：

=1(a＞b＞0)的焦点为F₁（1，0）、F₂（-1，0），离心率为

，过点A（2，0）的直线l交椭圆C于M、N两点．
（1）求椭圆C的方程；
（2）①求直线l的斜率k的取值范围；
②在直线l的斜率k不断变化过程中，探究∠MF₁A和∠NF₁F₂是否总相等？若相等，请给出证明，若不相等，说明理由．

（2012•梅州一模）如图，已知椭圆C：

+y²=1（a＞1）的上顶点为A，右焦点为F，直线AF与圆M：x²+y²-6x-2y+7=0相切．
（Ⅰ）求椭圆C的方程；
（Ⅱ）不过点A的动直线l与椭圆C相交于PQ两点，且

=0．求证：直线l过定点，并求出该定点的坐标．