Question

11．已知实数a，b均大于零，且$\frac{1}{a}$+$\frac{2}{b}$=1，则a+b+$\sqrt{{a}^{2}+{b}^{2}}$的最小值为10．

Answer 1

分析 设a²+b²=R²，则a=Rcosθ，b=Rsinθ，θ∈（0，$\frac{π}{2}$），代入到$\frac{1}{a}$+$\frac{2}{b}$=1可得R=$\frac{1}{cosθ}$+$\frac{2}{sinθ}$，t=tan$\frac{θ}{2}$，根据基本不等式可得a+b+$\sqrt{{a}^{2}+{b}^{2}}$的最小值．

解答 解：∵实数a，b均大于零，且$\frac{1}{a}$+$\frac{2}{b}$=1，
设a²+b²=R²，则a=Rcosθ，b=Rsinθ，θ∈（0，$\frac{π}{2}$），
代入到$\frac{1}{a}$+$\frac{2}{b}$=1可得R=$\frac{1}{cosθ}$+$\frac{2}{sinθ}$，
∴a+b+$\sqrt{{a}^{2}+{b}^{2}}$=Rcosθ+Rsinθ+R
=R（cosθ+sinθ+1）=（$\frac{1}{cosθ}$+$\frac{2}{sinθ}$）（cosθ+sinθ+1）
令t=tan$\frac{θ}{2}$，则上式=$\frac{2}{1-t}$+$\frac{2}{t}$+2=（1-t+t）（$\frac{2}{1-t}$+$\frac{2}{t}$）+2
=$\frac{2t}{1-t}$+$\frac{2（1-t）}{t}$+6，
≥2$\sqrt{\frac{2t}{1-t}•\frac{2（1-t）}{t}}$+6
=10，
当且仅当t=tan$\frac{θ}{2}$=$\frac{1}{2}$时，取等号，
故a+b+$\sqrt{{a}^{2}+{b}^{2}}$的最小值为：10，
故答案为：10

点评 本题考查的知识点是基本不等式，万能公式，本题转化非常困难，属于难题．