题目内容

定义函数f(x)=
2cosx，(sinx＜cosx)
2sinx (sinx≥cosx)
，给出下列四个命题：①该函数的值域是[-2，2]；②该函数是以π为最小正周期的周期函数；③当且仅当x=2kπ-
π
2
(k∈Z)时该函数取得最大值2；④当且仅当2kπ-π＜x＜2kπ-
π
2
(k∈Z)时，f（x）＜0．上述命题中，错误命题的个数是（　　）
分析：根据三角函数的图象和性质，我们可以判断出函数的f（x）的值域，进而判断①的真假；判断出函数的f（x）的周期，进而判断②的真假；判断出函数的f（x）的最大值及取最大值时自变量x的值，进而判断出③的真假；求出函数的f（x）的值小于0时，自变量x的取值范围，进而判断出④的真假；最终得到答案．
解答：解：∵函数f(x)=
2cosx，(sinx＜cosx)
2sinx (sinx≥cosx)
，
由三角函数的图象和性质可得：
函数f（x）的值域为[-
2
，2]，故①错误；
函数f（x）是以2π为最小正周期的周期函数，故②错误；
函数f（x）在x=2kπ或x=2kπ+
π
2
(k∈Z)时该函数取得最大值2，故③错误；
函数f（x）在2kπ-π＜x＜2kπ-
π
2
(k∈Z)时，f（x）＜0，故④正确
故选C
点评：本题考查的知识点分段函数的解析式求法及其图象的作法，函数的值域，函数的周期性，函数的最值，其中熟练掌握三角函数的图象和性质，是解答本题的关键．
练习册系列答案
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已知
OA
=(sin
x
3
，
3
cos
x
3
)，
OB
=(cos
x
3
，cos
x
3
)，其中x∈R，定义函数f(x)=
OA
•
OB

（1）求函数f（x）图象的对称中心的横坐标
（2）若x∈(0，
π
3
]，求函数f（x）的值域．
设函数f(x)=2
-x2+x+2
，对于给定的正数K，定义函数fK(x)=
f(x)，f(x)≤K
K，f(x)＞K
若对于函数f(x)=2
-x2+x+2
定义域内的任意 x，恒有fK（x）=f（x），则（　　）
A、K的最大值为2
2
B、K的最小值为2
2
C、K的最大值为1
D、K的最小值为1
已知向量
a
=(1，0)，
b
=(x，1)，当x＞0时，定义函数f(x)=
a
•
b
|
a
|+|
b
|
．
（1）求函数y=f（x）的反函数y=f-1（x）；
（2）数列{an}满足：a1=a＞0，an+1=f（an），n∈N*，Sn为数列{an}的前n项和，则：
①当a=1时，证明：an＞
1
2n
；
②对任意θ∈[0，2π]，当2asinθ-2a+Sn≠0时，
证明：
2asinθ+2a-Sn
2asinθ-2a+Sn
≥
4a-Sn
Sn
或
2asinθ+2a-Sn
2asinθ-2a+Sn
≤
Sn
4a-Sn
．
设关于x的方程x2-mx-1=0 有两个实根α、β，且α＜β．定义函数f(x)=
2x-m
x2+1
．
（1）求αf（α）+βf（β） 的值；
（2）判断f（x） 在区间（α，β） 上的单调性，并加以证明；
（3）若λ，μ 为正实数，求证：|f(
λα+μβ
λ+μ
)-f(
μα+λβ
λ+μ
)|＜|f(α)-f(β)|．
（2005•东城区一模）已知向量
a
=(2sinx，cosx)，
b
=(
3
cosx，2cosx)，定义函数f(x)=
a
•
b
-1．
（1）求函数f（x）的最小正周期；
（2）求函数f（x）的单调减区间；
（3）画出函数g(x)=f(x)，x∈[-
7π
12
，
5π
12
]的图象，由图象研究并写出g（x）的对称轴和对称中心．

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