题目内容
（2005•东城区一模）已知向量
=(2sinx，cosx)，
=(
cosx，2cosx)，定义函数f(x)=
•
-1．
（1）求函数f（x）的最小正周期；
（2）求函数f（x）的单调减区间；
（3）画出函数g(x)=f(x)，x∈[-
，
]的图象，由图象研究并写出g（x）的对称轴和对称中心．
| a |
| b |
| 3 |
| a |
| b |
（1）求函数f（x）的最小正周期；
（2）求函数f（x）的单调减区间；
（3）画出函数g(x)=f(x)，x∈[-
| 7π |
| 12 |
| 5π |
| 12 |
分析：（1）利用二倍角公式和两角和公式对函数的解析式进行化简整理，然后利用周期公式求得函数的最小正周期；
（2）利用正弦函数的性质求得函数单调减时2x+
的范围，进而求得x的范围即函数的单调减区间；
（3）用五点法作出g（x）的图象，结合图象研究g（x）的对称轴和对称中心．
（2）利用正弦函数的性质求得函数单调减时2x+
| π |
| 6 |
（3）用五点法作出g（x）的图象，结合图象研究g（x）的对称轴和对称中心．
解答：解：f（x）=
•
-1=2
sinxcosx+2cos2x-1
=
sin2x+cos2x=2sin(2x+
)．…（5分）
（1）f（x）的最小正周期T=
=π．…（6分）
（2）由2kπ+
≤2x+
≤2kπ+
?2kπ+
≤2x≤2kπ+
?kπ+
≤x≤kπ+
（k∈Z）．
∴函数f（x）的单调减区间为[kπ+
，kπ+
]（k∈Z）．…（9分）
（3）函数g(x)=f(x)，x∈[-
，
]的图象如图所示，
从图象上可以直观看出，此函数没有对称轴，有一个对称中心．
∴对称中心是（-
，0）…（14分）
| a |
| b |
| 3 |
=
| 3 |
| π |
| 6 |
（1）f（x）的最小正周期T=
| 2π |
| |ω| |
（2）由2kπ+
| π |
| 2 |
| π |
| 6 |
| 3π |
| 2 |
| π |
| 3 |
| 4π |
| 3 |
?kπ+
| π |
| 6 |
| 2π |
| 3 |
∴函数f（x）的单调减区间为[kπ+
| π |
| 6 |
| 2π |
| 3 |
（3）函数g(x)=f(x)，x∈[-
| 7π |
| 12 |
| 5π |
| 12 |
从图象上可以直观看出，此函数没有对称轴，有一个对称中心．
∴对称中心是（-
| π |
| 12 |
点评：本题主要考查平面向量数量积的运算、二倍角公式和两角和与差的公式的应用和正弦函数的基本性质，考查基础知识的综合应用，三角函数的公式比较多，平时一定要加强记忆，到运用时方能做到游刃有余．
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