题目内容
【题目】如图,在多面体ABCDE中,∠BAC=90°,AB=AC=2,CD=2AE=2,AE∥CD,且AE⊥底面ABC,F为BC的中点.
(1)求证:AF⊥BD;
(2)求二面角A﹣BE﹣D的余弦值.
【答案】
(1)证明:∵AB=AC,F为BC的中点,
∴AF⊥BC,又AE∥CD,且AE⊥底面ABC,AF底面ABC,
∴AF⊥DC,又BC∩DC=C,且BC、DC面BCD,
∴AF⊥面BCD,又BD面BCD,∴AF⊥BD.
(2)解:以A为原点,AB为x轴,AC为y轴,AE为z轴,建立空间直角坐标系如图,
∴B(2,0,0),D(0,2,2),E(0,0,1),
, ,
设面BED的一个法向量为 ,
则 ,令z=2得x=1,y=﹣1,∴ ,
又面ABE的一个法向量为 ,
∴ ,
∵二面角A﹣BE﹣D的平面角是锐角,
∴二面角A﹣BE﹣D的余弦值为 .
【解析】(1)推导出AF⊥BC,从而AF⊥DC,进而AF⊥面BCD,由此能证明AF⊥BD.(2)以A为原点,AB为x轴,AC为y轴,AE为z轴,建立空间直角坐标系,利用向量法能求出二面角A﹣BE﹣D的余弦值.
【考点精析】本题主要考查了空间中直线与直线之间的位置关系的相关知识点,需要掌握相交直线:同一平面内,有且只有一个公共点;平行直线:同一平面内,没有公共点;异面直线: 不同在任何一个平面内,没有公共点才能正确解答此题.
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