Question

7．已知向量$\overrightarrow{a}$、$\overrightarrow{b}$、$\overrightarrow{c}$满足|$\overrightarrow{a}$-$\overrightarrow{b}$|=|$\overrightarrow{b}$|=1，（$\overrightarrow{a}$-$\overrightarrow{c}$）•（$\overrightarrow{b}$-$\overrightarrow{c}$）=0，若对每一确定的$\overrightarrow{b}$，|$\overrightarrow{c}$|的最大值和最小值分别为m、n，则对任意a，m-n的值（　　）

• A． 随|$\overrightarrow{a}$|增大而增大
• B． 随|$\overrightarrow{a}$|增大而减小
• C． 是2
• D． 是1

Answer 1

分析 假设$\overrightarrow{a}$=（0，0）、$\overrightarrow{b}$=（0，1）、$\overrightarrow{c}$=（x y），则由条件可得x²+（y-$\frac{1}{2}$）²=$\frac{1}{4}$，故满足条件的向量$\overrightarrow{c}$的终点在以（0，$\frac{1}{2}$）为圆心，半径等于$\frac{1}{2}$的圆上，可得|$\overrightarrow{c}$|的最大值m与最小值n的值，即可求得m-n．

解答 解：假设$\overrightarrow{a}$=（0，0）、$\overrightarrow{b}$=（0，1）、$\overrightarrow{c}$=（x y），则
∵（$\overrightarrow{a}$-$\overrightarrow{c}$）•（$\overrightarrow{b}$-$\overrightarrow{c}$）=0，
∴（x，y）•（x，y-1）=x²+y²-y=0，
即x²+（y-$\frac{1}{2}$）²=$\frac{1}{4}$，故满足条件的向量$\overrightarrow{c}$的终点在以（0，$\frac{1}{2}$）为圆心，半径等于$\frac{1}{2}$的圆上，
故|$\overrightarrow{c}$|的最大值与最小值分别为m=1，n=0，故m-n=1，
故选D．

点评 本题主要考查两个向量的数量积的运算，利用特殊值代入法，是一种简单有效的方法，属于中档题．