题目内容
【题目】已知函数.
(1)当时,求
在
上的最小值;
(2)若是
的两个不同的极值点,且
,求实数
的取值范围.
【答案】(1);(2)
【解析】
(1)当时,
,分析函数的单调性即可得到最值;
(2),分
,
,
,
四种情况讨论,易得当
且
时,
在
和
处取极值,结合
即可得到答案.
(1)当时,
,
∵当或
时,
,当
时,
,
∴在区间
上是增函数,在
上是减函数,在区间
上是增函数,
当时,
取极大值
,当
时,
取极小值
,
∵,
∴在
上的最小值为
.
(2)由题知,,
①若,则当
时,
,当
时,
,∴
在区间
上是减函数,在上是增函数,∴当
时,
取极小值;
②若,则当
或
时,
,当
时,
,
∴在区间
上是增函数,在区间
上是减函数,在
上是增函数,
∴当时,
取极大值
,当
时,
取极小值
;
③若,则
,∴
在区间
上是增函数,∴
无极值;
④若,则当
或
时,
,当
时,
,
∴在区间
上是增函数,在区间
上是减函数,在
上是增函数,
∴当时,
取极大值
,当
时,
取极小值
;
综上可得,当且
时,
在
和
处取极值,
∴
∴,即
,解得
且
,
∴实数的取值范围为
.
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