题目内容
12．f（x）=-x3+3x+1在区间（a2-6，a）上有最大值．则实数a的取值范围为[2，$\sqrt{7}$）．分析 根据题意求出函数的导数，因为函数f（x）=-x3+3x+1在（a2-6，a）上有最大值，所以f′（x）先大于0然后再小于0，所以结合二次函数的性质可得：a2-6＜1＜a，且f（a2-6）≤f（1），进而求出a的范围．
解答 解：函数f（x）=-x3+3x+1在（a2-6，a）上有最大值，
则其最大值必是区间上的极大值，
f′（x）=-3x2+3，令f′（x）=-3x2+3=0，可得x=±1，
分析易得x=1是极大值点．
对于f′（x）=-3x2+3，结合二次函数的性质可得：a2-6＜1＜a，
且f（a2-6）≤f（1），
解得2≤a＜$\sqrt{7}$．
故答案为：[2，$\sqrt{7}$）．
点评 解决此类问题的关键是熟练掌握导数的作用，即求函数的单调区间与函数的最值，并且进行正确的运算．
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