题目内容

如图，椭圆的左焦点为，右焦点为，过的直线交椭圆于两点， 的周长为8，且面积最大时，为正三角形．

（1）求椭圆的方程；
（2）设动直线与椭圆有且只有一个公共点，且与直线相交于点，证明：点在以为直径的圆上.

(1) (2)证明过程详见解析

解析试题分析：
(1)利用椭圆的定义,可以得到三角形ABF2的周长即为2a,则可以得到a的值,由椭圆的对称性,可以得到为正三角形当且仅当A点在椭圆的短轴端点,此时,则可得到c的值,再根据a,c,b之间的关系可得到b的值,进而得到椭圆E的方程.
(2)据题意,直线l与椭圆E相切于点P.设出点P的坐标,利用直线与椭圆相切,联立椭圆与直线的方程,判别式为0,即可用点P的坐标表示直线l的斜率,即得到直线l关于P坐标的表达式.联立直线l与直线x=4即可求出点Q的坐标,把P,Q的坐标带入内积式,证得即可.
试题解析：
(1)由题得,因为点A,B都在椭圆上,所以根据椭圆的定义有且,又因为 的周长为8,所以
, 因为椭圆是关于x,y,原点对称的,所以为正三角形当且仅当为椭圆的短轴定点,则,,故椭圆E的方程为.
(2)由题得,动直线l为椭圆的切线,故不妨设切点,因为直线l的斜率是存在且为,所以,则直线,联立直线l与椭圆E的方程得 ,.则直线l的方程为,联立直线l与直线得到点,则
,所以,即点M在以PQ为直径的圆上.
考点：椭圆 切线 内积 圆

练习册系列答案
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如图所示,抛物线C1:x2=4y,C2:x2=-2py(p>0).点M(x0,y0)在抛物线C2上,过M作C1的切线,切点为A,B(M为原点O时,A,B重合于O).当x0=1-时,切线MA的斜率为-.

(1)求p的值;
(2)当M在C2上运动时,求线段AB中点N的轨迹方程(A,B重合于O时,中点为O).

椭圆的离心率为，且经过点过坐标原点的直线与均不在坐标轴上，与椭圆M交于A、C两点，直线与椭圆M交于B、D两点
（1）求椭圆M的方程；
（2）若平行四边形ABCD为菱形，求菱形ABCD的面积的最小值

如图X15－3所示，已知圆C1：x2＋(y－1)2＝4和抛物线C2：y＝x2－1，过坐标原点O的直线与C2相交于点A，B，定点M的坐标为(0，－1)，直线MA，MB分别与C1相交于点D，E.

(1)求证：MA⊥MB；
(2)记△MAB，△MDE的面积分别为S1，S2，若＝λ，求λ的取值范围．

已知命题：方程所表示的曲线为焦点在轴上的椭圆；命题：实数满足不等式.
（1）若命题为真，求实数的取值范围；
（2）若命题是命题的充分不必要条件，求实数的取值范围．

已知椭圆与双曲线x2－y2＝0有相同的焦点，且离心率为.
(1)求椭圆的标准方程；
(2)过点P(0，1)的直线与该椭圆交于A，B两点，O为坐标原点，若＝2，求△AOB的面积．

如图，F是椭圆的右焦点，以点F为圆心的圆过原点O和椭圆的右顶点，设P是椭圆上的动点，P到椭圆两焦点的距离之和等于4.

(1)求椭圆和圆的标准方程；
(2)设直线l的方程为x＝4，PM⊥l，垂足为M，是否存在点P，使得△FPM为等腰三角形？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．

已知椭圆C的焦点分别为和，长轴长为6，设直线交椭圆C于A、B两点，求线段AB的中点坐标

已知椭圆C的中心为平面直角坐标系xOy的原点，焦点在x轴上，它的一个顶点到两个焦点的距离分别是7和1.
(1)求椭圆C的方程；
(2)若P为椭圆C上的动点，M为过P且垂直于x轴的直线上的一点，＝λ，求点M的轨迹方程，并说明轨迹是什么曲线．

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