题目内容

设函数f(x)=2cos2x+sin2x+a(a∈R).
(1)求函数f(x)的最小正周期和单调递增区间;
(2)当时,f(x)的最大值为2,求a的值,并求出y=f(x)(x∈R)的对称轴方程.
【答案】分析:(1)函数f(x)解析式第一项利用二倍角的余弦函数公式化简,再利用两角和与差的正弦函数公式化为一个角的正弦函数,找出ω的值代入周期公式即可求出函数的最小正周期;由正弦函数的单调递增区间为[2kπ-,2kπ+](k∈Z)求出x的范围即为函数的递增区间;
(2)由x的范围求出这个角的范围,利用正弦函数的单调性求出正弦函数的最大值,表示出函数的最大值,由已知最大值求出a的值即可,令这个角等于kπ+(k∈Z),求出x的值,即可确定出对称轴方程.
解答:解:(1)f(x)=1+cos2x+sin2x+a=sin(2x+)+1+a,
∵ω=2,∴T=π,
∴f(x)的最小正周期π;
当2kπ-≤2x+≤2kπ+(k∈Z)时f(x)单调递增,
解得:kπ-≤x≤kπ+(k∈Z),
则x∈[kπ-,kπ+](k∈Z)为f(x)的单调递增区间;
(2)当x∈[0,]时,≤2x+
当2x+=,即x=时,sin(2x+)=1,
则f(x)max=+1+a=2,
解得:a=1-
令2x+=kπ+(k∈Z),得到x=+(k∈Z)为f(x)的对称轴.
点评:此题考查了二倍角的余弦函数公式,两角和与差的正弦函数公式,三角函数的周期性及其求法,以及正弦函数的单调性,熟练掌握公式是解本题的关键.
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