题目内容

设函数f(x)=|x+1|+|x+2|+…+|x+2010|+|x-1|+|x-2|+…+|x-2010|(x∈R)四位同学研究得出如下四个命题,其中真命题的有(  )个
①f(x)是偶函数;
②f(x)在(0,+∞)单调递增;
③不等式f(x)<2010×2011的解集为∅;
④关于实数a的方程f(a2-3a+2)=f(a-1)有无数解.
分析:对于①利用偶函数的定义可判断;对于②正确;对于③研究函数的最小值为
2010×2011
2
=2010×2011,故可判断;对于④由①②可知,a2-3a+2=a-1,∴a=1或a=3,故可得结论
解答:解:对于①f(-x)=f(x)∴正确;对于②,当x在[-1,1]的时候,|x+1|+|x-1|就是x到-1的距离加上x到1的距离,由于x在-1和1之间,所以距离之和正好是2,同样的,|x+2|+|x-2|正好是4,|x+2011|+|x-2011|正好是4022,即函数在[-1,1]上是常数函数,故②错误;对于③,∵当x=0时,函数的最小值为
2010×2011
2
=2010×2011,故正确对于④由①②可知,a2-3a+2=a-1,∴a=1或a=3,当两者不相等时,a=2,故④错,
故选B.
点评:本题主要考查命题真假的判断,解题的关键是正确理解函数,研究其性质.
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