Question

已知正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁的棱长为2，E、F、G分别是AB，BC，B₁C₁的中点，则下列说法正确的是________ （写出所有正确命题的编号）．
①P在直线EF上运动时，GP始终与平面AA₁C₁C平行；
②点Q在直线BC₁上运动时，三棱锥A-D₁QC的体积不变；
③点M是平面A₁B₁C₁D₁上到点！？和．距离相等的点，则点M的轨迹是一条直线；
④以正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁的任意两个顶点为端点连一条线段，其中与棱AA₁异面的有10条；
⑤点P是平面ABCD内的动点，且点P到直线A₁D₁的距离与点P到点E的距离的平方差为3，则点P的轨迹为拋物线．

Answer 1

①②③⑤
分析：画出正方体图形，
①P在直线EF上运动时，可证面GEF∥平面AA₁C₁C，GP?面GEF，可得结论；
②Q在直线BC₁上运动时，三棱锥A-D₁QC的体积不变；三角形AD₁Q面积不变，C到平面距离不变，体积为定值；
③M是正方体的面A₁B₁C₁D₁内到点D和 C₁距离相等的点，则M点的轨迹是一条线段，线段A₁D₁满足题意；
④可列举出所求与棱AA₁异面的直线，故可判断；
⑤点P是平面ABCD内的动点，且点P到直线A₁D₁的距离与点P到点E的距离的平方差为3，从而可得点P到直线AD的距离的平方=点P到直线A₁D₁的距离平方减去4．
解答：①P在直线EF上运动时，EF∥AC，GF∥C₁C，可知面GEF∥平面AA₁C₁C，GP?面GEF，所以①成立；
②Q在直线BC₁上运动时，三棱锥A-D₁QC的体积不变；如图（2）三角形AD₁Q面积不变，C到平面距离不变，体积为定值，故②正确；
③M是正方体的面A₁B₁C₁D₁内到点D和 C₁距离相等的点，则M点的轨迹是一条线段，线段A₁D₁满足题意，故正确．
④以正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁的任意两个顶点为端点连一条线段，其中与棱AA₁异面的有BC、BC₁、B₁C、B₁C₁、C₁D₁、B₁D₁、CD、CD₁、C₁D、BD₁、B₁D、BD共12条，故不正确；
⑤点P是平面ABCD内的动点，且点P到直线A₁D₁的距离与点P到点E的距离的平方差为3，
则点P到点E的距离的平方，等于点P到直线A₁D₁的距离的平方减去3
点P到直线AD的距离的平方=点P到直线A₁D₁的距离平方减去4．
所以，点P到点M的距离=点P到直线AD的距离加上1，点P的轨迹是以E为焦点的抛物线的一部分，故正确．
故答案为：①②③⑤．
点评：本题考查棱锥的结构特征，轨迹方程，考查空间想象能力，逻辑思维能力，是中档题．